Wat we weten

1Overzicht¶

In de laatste sectie van zijn terugblik schrijft Pedro Santa-Clara op wat hij na een loopbaan in het vak zeker meent te weten Santa-Clara (2026). Het zijn elf stellingen, en ze zijn opvallend bescheiden. Er staat geen model in, geen SDF en geen evenwicht; er staan feiten in, van het soort dat een belegger kan gebruiken. Dat is zelf een uitkomst van de geschiedenis die deze reeks heeft verteld (motief 3): het vak begon met één theorie die getoetst werd, het CAPM, en eindigt met een lijst feiten waarvoor meerdere theorieën concurreren. Wat overeind bleef, is wat meetbaar was.

Deze lecture loopt de elf stellingen langs. Per stelling geven we (a) de stelling in één zin, in Santa-Clara’s eigen openingszin; (b) waarom ze waar is, met een verwijzing naar de lecture waar het mechanisme werd afgeleid; (c) één compacte demonstratie op de gecachte data van deze reeks; (d) hoe zeker we zijn, met de standaardfout of de steekproefonzekerheid erbij; en (e) de praktijkles. Die les is steeds een variant op de zin die door de hele reeks liep: “Everything I made that lasted came from bearing risk that was priced. Everything I lost came from thinking I knew something the price did not.”

Hoe zeker een stelling is, volgt het 2%-motief uit Rendementen en hun statistiek. Uitspraken over tweede momenten en identiteiten zijn vrijwel zeker, uitspraken over eerste momenten kloppen in teken maar niet in omvang, en uitspraken over zeldzame toestanden rusten op een handvol episodes. De samenvattende tabel aan het eind maakt dat onderscheid per stelling.

2Intuïtie: waarom zou dit waar zijn?¶

Er is één gedachte die bijna alle elf stellingen draagt: een prijs is een samenvatting van wat veel mensen met geld op het spel denken, en wie die samenvatting wil verslaan, moet iets weten of iets dragen wat die mensen niet willen dragen. Iets weten is moeilijk en wordt met de tijd moeilijker (stellingen 3 en 11). Iets dragen wordt beloond, maar alleen als het risico niet gratis weg te geven is: risico dat weg te diversifiëren valt, levert niets op (stelling 1), en risico dat in de slechtste toestanden toeslaat, levert juist veel op (stellingen 4, 6, 8 en 9). Wat een belegger wel zeker weet, is wat hij betaalt (stelling 2).

De tweede gedachte is statistisch. Een gemiddeld rendement meten kost kalendertijd, een variantie meten kost waarnemingen. Met dagdata heeft een eeuw 25 000 waarnemingen voor de variantie maar nog steeds maar honderd jaar voor het gemiddelde. Daarom is volatiliteit voorspelbaar en het rendement nauwelijks (stelling 5), en daarom is elke premie die we noemen een getal met een standaardfout van één à twee procentpunt per jaar.

De derde gedachte gaat over crises. Arbitrage en hedging werken zolang de markt doorlopend handelt en financiering beschikbaar is (stelling 7). In een crisis houdt beide op, en dan worden hefboomposities gedwongen gesloten tegen de slechtste prijs (stellingen 9 en 10). Het bewijs daarvoor is een mechanisme en een paar episodes, geen $t$-waarde.

3Toy-voorbeeld: dertig jaar sparen met de hand¶

Een belegger zet €100 000 opzij voor dertig jaar. Het verwachte (rekenkundige) rendement van aandelen is 7% per jaar, voor elk aandeel en elke portefeuille gelijk, want idiosyncratisch risico wordt niet beloond. De marktportefeuille heeft een volatiliteit van 20%. Een los aandeel heeft een volatiliteit van 40% en een correlatie van 0,25 met elk ander aandeel, dus een covariantie van $0{,}25 \times 0{,}40^2 = 0{,}04$, gelijk aan de marktvariantie.

Met Markowitz, Roy en Tobin is de variantie van een gelijkgewogen portefeuille van $N$ aandelen $\bar v/N + (1-1/N)\bar c$. Voor drie aandelen: $0{,}16/3 + \tfrac23 \times 0{,}04 = 0{,}0533 + 0{,}0267 = 0{,}08$, een volatiliteit van 28,3%.

Bij lognormale rendementen groeit de mediane belegger met $g = \mu - c - \sigma^2/2$, met $c$ de jaarlijkse kosten. We vergelijken vier beleggers:

(Met de hand: $e^{1{,}5} = 4{,}4817$ en $e^{-0{,}03} = 0{,}97045$, dus $e^{1{,}47} = 4{,}3493$; $e^{0{,}9} = 2{,}4596$ en $e^{0{,}87} = 2{,}4596 \times 0{,}97045 = 2{,}3869$; $e^{0{,}3} = 1{,}3499$.)

Alle vier hebben hetzelfde verwachte eindvermogen voor kosten. De mediane belegger in de laatste rij eindigt met minder dan een derde van de eerste. Van het verschil in groeivoet, 3,9 procentpunt, komt de helft uit kosten (1,9) en de helft uit het ongediversifieerde risico (2,0): de variantie die niets oplevert, kost via $\sigma^2/2$ evenveel als een dure adviseur.

De code geeft dezelfde getallen als de tabel, op afronding van de laatste tientallen euro’s na (de tabel rondt $e^{1{,}47}$ af op vier decimalen).

4Theorie¶

4.1Waarom het ene feit zekerder is dan het andere¶

Waarom zou dit waar zijn? Een verschil in kosten of in ongediversifieerde variantie is een verschil in de drift van het logvermogen dat elk jaar opnieuw wordt afgedragen, zeker en lineair in de tijd. Het geluk dat dat verschil kan maskeren, groeit maar met de wortel van de tijd. Na genoeg jaren wint de drift altijd; de vraag is alleen hoeveel jaren “genoeg” is.

Met de getallen van het toy-voorbeeld is $\Delta = 0{,}019 + \tfrac12 \times 0{,}04 = 0{,}039$ en $\sigma_\varepsilon = 0{,}20$. Na dertig jaar is $\Delta\sqrt{T}/\sigma_\varepsilon = 0{,}039 \times 5{,}477/0{,}20 = 1{,}068$ en $\Phi(-1{,}068) = 0{,}143$. Eén op de zeven geconcentreerde, dure beleggers verslaat de goedkope indexbelegger over een heel beleggersleven. Dat is geen bewijs van vaardigheid; het is precies wat het model zonder vaardigheid voorspelt, en het is genoeg om een industrie en een hoop anekdotes in stand te houden.

4.2Zekerheid als functie van wat er gemeten wordt¶

De propositie is een speciaal geval van de regel die Rendementen en hun statistiek opstelde. Een premie $\mu$ met volatiliteit $\sigma$ is na $T$ jaar gemeten met $t = (\mu/\sigma)\sqrt{T}$, dus

met $\mathrm{SR} = \mu/\sigma$ de jaarlijkse Sharpe-ratio en $t^\ast$ de gewenste drempel. Voor de markt ($\mathrm{SR} \approx 0{,}4$) en $t^\ast = 2$ is dat 25 jaar; voor de drempel 3 van Harvey et al. (2016) 56 jaar. Een factor met Sharpe-ratio 0,3 vraagt honderd jaar. Een variantie is daarentegen na $T$ waarnemingen gemeten met een relatieve standaardfout $\sqrt{2/T}$, onafhankelijk van de kalenderlengte zodra de frequentie hoog genoeg is Merton (1980). We gebruiken dat onderscheid in de samenvattende tabel:

• hoog: een identiteit, een tweede moment, of een eerste moment met $t > 3$ dat in onafhankelijke steekproeven (andere periodes, andere markten) terugkomt;

• middel: een eerste moment met het juiste teken maar een omvang die binnen twee standaardfouten sterk varieert, of een uitspraak die op een handvol episodes rust.

5Simulatie: dertig jaar, twee beleggers, onbekende premie¶

We simuleren de propositie met een onzekerheid erbij die in het toy-voorbeeld ontbrak: niemand kent de equity premium. Per pad trekken we de ware premie uit $N(6\%, 2\%)$, de standaardfout van een eeuw Amerikaanse data (stellingen 1, 2, 4 en 11 in één experiment). Belegger A houdt de markt tegen 0,1% kosten per jaar. Belegger B houdt drie aandelen, handelt veel en betaalt 2% per jaar aan kosten. Rente 2%, marktvolatiliteit 20%, idiosyncratische volatiliteit 20%, 30 jaar, 20 000 paden.

De simulatie bevestigt de propositie: in 13,7% van de paden eindigt B boven A, tegen 14,3% volgens (1). Het verschil is 2,4 simulatiestandaardfouten. Dat is aan de grote kant, maar de propositie is onder de aannames van de simulatie exact, dus we schrijven het toe aan steekproefruis en laten de seed staan. De mediane A eindigt met ongeveer €588 000, de mediane B met €179 000. Die verhouding van 3,3 ligt dicht bij de $e^{0{,}039 \times 30} = 3{,}2$ van het toy-voorbeeld: de onzekere premie verschuift beide beleggers evenveel.

Wat de simulatie toevoegt, is de spreiding. Het 5e percentiel van A ligt bij €72 000: ook de goedkope, gespreide belegger heeft in één op de twintig paden na dertig jaar minder dan hij inlegde, deels door pech in de markt en deels omdat de ware premie in dat pad laag was. De kans dat A achterblijft bij een belegging in T-bills is 18%; voor B is die 50%. De geconcentreerde, dure belegger heeft na dertig jaar dus een munt opgegooid tegen de spaarrekening, terwijl hij het volle risico van aandelen droeg. En één op de zeven B’s kan achteraf met recht zeggen dat hij de indexbelegger versloeg.

6Replicatie op echte data¶

6.11. Diversificatie¶

Stelling. “Diversification is the only free lunch, and it is a large one.”

Waarom. De variantie van een gelijkgewogen portefeuille is $\bar v/N + (1-1/N)\bar c$ (Markowitz, Roy en Tobin): de eigen varianties verdwijnen, de covarianties niet. Wat verdwijnt kan niemand beloond krijgen, want iedereen kan het gratis kwijt. Het CAPM (Het CAPM) en de APT (Ross, APT en de fundamentele stelling) maken daar een prijsvoorspelling van: alleen blootstelling aan gemeenschappelijke factoren heeft een premie. Markowitz (1952) gaf de eerste helft, Sharpe (1964) de tweede.

Hoe zeker. De bodem van de diversificatie ligt hier hoog, omdat een industrieportefeuille zelf al honderden aandelen bevat. De gemiddelde industrie heeft 23,7% volatiliteit per jaar, de gelijkgewogen portefeuille van alle 49 heeft 17,2%. Formule en trekkingen komen tot op een paar tienden overeen, en de eerste drie industrieën halen al het grootste deel van de reductie. Voor losse aandelen, met een volatiliteit van 40 à 50%, levert dezelfde bodem veel meer op (Markowitz, Roy en Tobin). Dit deel van de stelling is een identiteit over tweede momenten, en daarmee zo zeker als iets in dit vak.

Het tweede deel, dat idiosyncratisch risico niet beloond wordt, is een uitspraak over een eerste moment en dus zwakker. De Fama-MacBeth-helling op residuele volatiliteit is 0,015 per eenheid maandvolatiliteit, met $t = 0{,}45$. We verwerpen dus niet dat de beloning nul is, maar een behoorlijke positieve beloning valt ook binnen twee standaardfouten. De helling op bèta is evenmin significant ($t = 0{,}03$). Dat is de vlakke security market line van Het CAPM, geen weerlegging van diversificatie. Over het teken is de literatuur het ook niet eens: Ang et al. (2006) vonden dat aandelen met hoge idiosyncratische volatiliteit juist lage gemiddelde rendementen hebben. De bèta’s en residuele volatiliteiten zijn over de hele steekproef geschat, dus met look-ahead; voor een uitspraak over het ontbreken van een beloning is dat een milde vertekening. Zekerheid: hoog.

Praktijkles. Diversificatie is de enige plek waar een belegger iets krijgt zonder er iets voor op te geven. Wie tien aandelen houdt omdat hij ze goed kent, betaalt daar elk jaar $\sigma^2/2$ voor (toy-voorbeeld), zonder dat iemand hem daarvoor een premie hoeft te betalen.

6.22. Kosten en belastingen¶

Stelling. “Costs and taxes are the most reliable predictor of net returns.”

Waarom. De rekenkunde van Sharpe (1991) (De industrie als financier: indexfondsen, DFA, AQR): vóór kosten is het gemiddelde actieve rendement gelijk aan het passieve, dus na kosten ligt de gemiddelde actieve euro achter met precies de kosten. French (2008) telde die kosten voor de Amerikaanse beurs op: “Averaging over 1980–2006, I find investors spend 0.67% of the aggregate value of the market each year searching for superior returns.” Kosten zijn vooraf bekend; alpha is achteraf nauwelijks te meten (Fama en de efficiënte markt, Proposition 1). Belegging in een indexfonds stelt bovendien de belasting op gerealiseerde winsten uit, een effect dat we met gratis data niet kunnen meten.

Hoe zeker. Geen van de zeven fondsen heeft een verschil met het indexfonds dat van nul te onderscheiden is. De $t$-waarden liggen tussen $-1{,}57$ en $1{,}23$, de standaardfouten na 45 jaar tussen 1,0 en 1,6 procentpunt per jaar. Met een tracking error van 7 à 11% per jaar is dat precies wat (2) voorspelt: om een voorsprong van één procentpunt met $t = 2$ te zien, heeft een fonds met 7,5% tracking error $(2 \times 7{,}5/1)^2 = 225$ jaar nodig. Het gemiddelde van de zeven verschillen is licht positief (0,47 procentpunt), maar dat is geen bewijs van vaardigheid. Dit zijn fondsen die we kennen omdat ze na 45 jaar nog bestaan en groot zijn, en de survivorship bias uit De CRSP-tape: data als machine werkt in hun voordeel. Of een fonds zijn kosten terugverdient, is na een halve eeuw nog niet te zeggen; de kosten zelf waren op de eerste dag bekend. Zekerheid: hoog.

Praktijkles. Van alles wat een belegger over de toekomst van zijn portefeuille kan zeggen, is de kostenpost het enige getal met een standaardfout van nul. Wie een actief fonds kiest, ruilt een zekere achterstand in tegen een onzekere voorsprong die hij, met de standaardfouten hierboven, pas na tientallen jaren zou kunnen herkennen.

6.33. Snelheid van informatie¶

Stelling. “Prices absorb public information fast.”

Waarom. Concurrentie om informatie (Fama en de efficiënte markt): elke voorspelbare beweging na publiek nieuws is een winstkans, en winstkansen worden weggehandeld tot de kosten van het handelen ze niet meer waard maken Fama (1970). De event study van Fama et al. (1969) (De event study) liet zien dat de koers vóór en op de dag van een aankondiging beweegt en daarna niet meer. Met intradagdata, die we niet gratis hebben, is die aanpassing voor aankondigingen van winsten en macrocijfers een kwestie van minuten tot uren; met dagdata kunnen we alleen laten zien dat er na één dag weinig voorspelbaars overblijft.

Hoe zeker. In elk decennium vóór 1990 is de autocorrelatie positief en significant, met een piek van 0,29 in de jaren zeventig ($t = 14{,}5$). In de jaren 2000 en 2010 is ze klein en negatief ($-0{,}06$ en $-0{,}04$). Bij een standaardfout van 0,02 zijn die verschillen scherp. Een deel van de vroege autocorrelatie is geen trage informatieverwerking maar een meetartefact: kleine aandelen in de index handelden niet elke dag, waardoor hun slotkoers achterliep (Fama en de efficiënte markt). De jaren 2020 hebben een autocorrelatie van $-0{,}15$, maar LLM’s, advies en efficiëntie liet zien dat die vrijwel geheel uit het coronajaar 2020 komt. Dat de dag-autocorrelatie verdween, is sterk bewijs dat er na één dag weinig voorspelbaars overblijft. De claim van uren rust op intradag-event studies die we met gratis data niet kunnen herhalen. Zekerheid: hoog voor de richting en de orde van grootte (een dag of minder), middel voor de precieze snelheid.

Praktijkles. Een nieuwsbericht dat u leest, is geen informatie die de prijs niet heeft. Het is de mildste vorm van “thinking I knew something the price did not”: niet een vergissing over de waarde, maar over de volgorde waarin anderen het nieuws al hebben verwerkt.

6.44. De equity premium¶

Stelling. “There is an equity premium, and it is large, and it is not constant.”

Waarom. Aandelen betalen slecht uit in toestanden waarin een euro veel waard is, en daarvoor eisen beleggers een vergoeding. Dat de vergoeding groot is, is een feit dat geen standaardmodel reproduceert (Mehra & Prescott (1985), Mehra-Prescott en Hansen-Jagannathan); dat ze varieert, volgt uit de Campbell-Shiller-identiteit en de voorspelbaarheid op lange horizon (Voorspelbaarheid van rendementen); de drie grote verklaringen staan in Habit, long-run risk en rampen. Mehra en Prescott rapporteerden voor 1889–1978 een premie van 6,18% (SE 1,76), in hun tabel 1.

Hoe zeker. De rekenkundige premie over 1926–2025 is 8,8% per jaar met een standaardfout van 2,0 procentpunt. De meetkundige premie, wat een belegger werkelijk samengesteld boven T-bills verdiende, is 6,8%. Een 95%-interval voor het rekenkundige gemiddelde loopt van ongeveer 4,9 tot 12,7%. Dat de premie positief is, staat dus vast ($t = 4{,}4$); hoe groot ze is, weten we maar op een paar procentpunt nauwkeurig. Santa-Clara’s 5 à 7% ligt binnen dat interval. De tijdvariatie is groot: over de twintig jaar tot 1981 was de meetkundige premie 0,5% per jaar, over de twintig jaar tot 1961 15,2%. De drawdowns zijn lang: de langste periode waarin de cumulatieve voorsprong op T-bills onder haar vorige piek lag, duurde 15 jaar, en het diepste punt was $-70\%$ in 1932. Of die variatie een variërende discontovoet is of variërend sentiment, is motief 2 (Fama, Shiller en “Discount Rates”); dát ze bestaat, staat vast. In Exercise 2 blijkt de premie over 1872–1926 een stuk kleiner. Zekerheid: hoog voor het bestaan en het teken, middel voor de omvang.

Praktijkles. De premie is de beloning voor het dragen van risico dat beprijsd is, het schoolvoorbeeld van “risk that was priced”. Maar het risico is echt: de beloning komt pas over decennia, en wie tussentijds moet verkopen, krijgt haar niet.

6.55. Volatiliteit is voorspelbaar, rendementen nauwelijks¶

Stelling. “Volatility is forecastable; returns barely are.”

Waarom. Volatiliteit is persistent (GARCH, ARCH, GARCH, realized volatility en de VIX) en met dagdata nauwkeurig te meten Andersen et al. (2003); het gemiddelde rendement is slecht gemeten en de voorspellers ervan werken buiten de steekproef nauwelijks Welch & Goyal (2008) (Voorspelbaarheid van rendementen). Het is het 2%-motief in één zin: een tweede moment wordt met meer waarnemingen beter, een eerste moment alleen met meer jaren.

Hoe zeker. De log gerealiseerde variantie van de volgende maand heeft een $R^2$ van 0,53 op die van deze maand, met een helling van 0,73 en een standaardfout van 0,03. Het rendement van de volgende maand heeft een $R^2$ van 0,002 op de dividend-prijsratio en 0,009 op het eigen rendement van deze maand, beide met $t < 2$. Het verschil is twee ordes van grootte, en een betere methode verandert dat niet. ARCH, GARCH, realized volatility en de VIX liet zien dat GARCH-voorspellingen met parameters uit 1969 buiten de steekproef 41 tot 48% van de logvariantie verklaren. Voorspelbaarheid van rendementen liet zien dat de dividend-prijsratio buiten de steekproef een $R^2$ van ongeveer $-4\%$ heeft. Een kleine voorspelbaarheid van rendementen op lange horizon is daarmee niet uitgesloten; ze is alleen niet bruikbaar. Zekerheid: hoog.

Praktijkles. Wie risico wil sturen, heeft een betrouwbaar instrument: schaal de positie terug als de volatiliteit hoog is, zoals Barroso en Santa-Clara met momentum deden (Jegadeesh-Titman, Carhart en momentum crashes). Wie uit dezelfde data de richting van de markt denkt te halen, meent iets te weten wat de prijs niet weet.

6.66. Robuuste premies: value, momentum, carry en low-volatility¶

Stelling. “A few risk premia are robust across markets, time and asset classes.”

Waarom. Value en size als factoren Fama & French (1993) (Fama-French 1992/1993), momentum Jegadeesh & Titman (1993) (Jegadeesh-Titman, Carhart en momentum crashes), valuta-carry Lustig et al. (2011) (Wisselkoersen: risk sharing, carry, momentum, value) en de te vlakke security market line (Frazzini & Pedersen (2014), Het CAPM). Asness et al. (2013) vonden value en momentum in acht markten tegelijk. Of het risico of vergissing is, laat de reeks open; dat de premies in de data staan, niet.

Hoe zeker. Drie van de vier premies staan zoals verwacht: HML 4,3% per jaar sinds 1926 ($t = 3{,}5$), momentum 7,4% sinds 1927 ($t = 4{,}6$) en valuta-carry 3,7% sinds 1979 ($t = 3{,}0$). De vierde niet. Het verschil tussen het laagste en het hoogste bèta-quintiel heeft een CAPM-alpha van 2,8% per jaar met $t = 1{,}35$, onder de verwachte drempel van 2. Dat is een echte afwijking, geen fout in het teken: de alpha is positief en de ruwe Sharpe-ratio negatief ($-0{,}16$), zoals het hoort voor een portefeuille die short gaat in de aandelen met de hoogste bèta. Een deel van het verschil met Frazzini & Pedersen (2014) zit in de constructie. Zij brengen beide benen met hefboom naar een bèta van één, zodat de portefeuille marktneutraal is, en gebruiken naast Amerikaanse aandelen ook internationale markten en andere activaklassen. Wij vergelijken twee value-weighted quintielen zonder hefboom over 63 jaar. Het CAPM vond voor alleen het laagste bèta-deciel een alpha van 0,21% per maand met $t = 2{,}53$. Low-beta is in onze data dus de zwakste van de vier.

De verwachte verzwakking van HML is er ook: $t = 2{,}89$ in de eerste helft en $1{,}92$ in de tweede. Voor carry daalt de $t$-waarde van $2{,}58$ naar $1{,}58$; alleen momentum is in beide helften even sterk. Bij Sharpe-ratio’s van 0,35 à 0,46 vraagt $t = 3$ volgens (2) 40 à 75 jaar data, meer dan een halve steekproef biedt. Zekerheid: hoog voor value en momentum over lange steekproeven en meerdere markten; middel voor carry, voor low-beta en voor de omvang van elke premie na publicatie.

Praktijkles. Dit zijn de premies waarmee DFA en AQR hun bedrijven bouwden (De industrie als financier: indexfondsen, DFA, AQR). Santa-Clara’s zin geeft de toets: als het beprijsd risico is, komt het terug in slechte tijden (momentumcrashes, carry in 2008) en blijft de premie; als het een vergissing was, verdwijnt hij zodra genoeg mensen hem kennen (McLean & Pontiff (2016), De factor zoo).

6.77. No-arbitrage werkt als de hedge werkt¶

Stelling. “No-arbitrage pricing works when the hedge works.”

Waarom. Een optie heeft een prijs zonder nutsfunctie omdat haar payoff met aandelen en een lening na te bootsen is (Black & Scholes (1973), Black-Scholes-Merton en de CBOE); geen arbitrage is gelijkwaardig aan het bestaan van een positieve SDF (Harrison & Kreps (1979), Ross, APT en de fundamentele stelling). Maar de nabootsing veronderstelt doorlopende handel en een bekende volatiliteit. Bij een koerssprong of een volatiliteitsschok werkt de hedge niet, en dan is de prijs geen arbitrageprijs meer maar een verzekeringspremie (Opties en crashrisico). We verkopen elke maand sinds 1927 een één-maands at-the-money call op de index, geprijsd met Black-Scholes bij de gerealiseerde volatiliteit van de voorgaande 21 handelsdagen, en hedgen dagelijks met de delta.

Hoe zeker. Dagelijks hedgen brengt de standaardafwijking van het resultaat terug van 3,3% naar 0,8% van de index per maand, een variantiereductie van ongeveer 94%. De staart krimpt niet in dezelfde verhouding: de kurtosis van het gehedgede resultaat is 33, tegen 18 ongehedged, en de slechtste gehedgede maand kost 4,7% van de index, bijna zes standaardafwijkingen. Die maand is maart 2020, gevolgd door juni 1950 (het begin van de Koreaanse oorlog), maart 1933, oktober 1989 en september 1955. Het zijn niet de maanden waarin de markt het meest daalde. Het zijn maanden waarin de volatiliteit plotseling veel hoger was dan in de maand ervoor: de hedge rekende met de verkeerde $\sigma$, en de verkoper betaalde het verschil via de gamma (Proposition 2). Oktober 1987 staat er niet bij, omdat de index op de dag van de crash al ruim onder de uitoefenprijs van de begin oktober verkochte call stond, waar de gamma klein is. In 99% van de maanden kost de gehedgede positie minder dan 2,3% van de index; in de rest is de optieprijs geen arbitrageprijs maar een verzekeringspremie. Zekerheid: hoog voor het mechanisme, middel voor de omvang van het staartrisico.

Praktijkles. Wie opties verkoopt en hedget, verdient in rustige maanden een kleine, zekere vergoeding en draagt het risico van de maand waarin de hedge niet werkt. Dat is een beprijsd risico zolang de positie die maand overleeft; wie denkt dat de hedge het risico heeft weggenomen, weet iets wat niet waar is.

6.88. De expectations hypothesis is onwaar¶

Stelling. “The expectations hypothesis of the term structure is false and the deviation is exploitable.”

Waarom. Onder de expectations hypothesis voorspelt de forward spread toekomstige renteveranderingen en niets anders; het extra rendement van een lange obligatie is dan onvoorspelbaar. De Fama-Bliss-regressie Fama & Bliss (1987) vindt het omgekeerde: de spread voorspelt het extra rendement met een helling rond één, en de tentvormige factor van Cochrane & Piazzesi (2005) voorspelt nog beter (Fama-Bliss, Cochrane-Piazzesi en het string-model, met de affiene modellen uit Brennan-Schwartz, Vasicek, CIR en Longstaff-Schwartz als achtergrond). Cochrane en Piazzesi rapporteren voor 1964–2003 hellingen van 0,99; 1,35; 1,61 en 1,27 in hun tabel 2.

Hoe zeker. Alle vier hellingen zijn positief en liggen dichter bij één dan bij nul: 0,72; 0,88; 1,04 en 1,20 over 1964–2025. De expectations hypothesis (helling nul) wordt voor elke looptijd verworpen, met $t$-waarden tussen 2,6 en 2,9; de hypothese dat de helling één is, dat de hele forward spread risicopremie is, voor geen enkele. De verwerping is niet overweldigend. Met Hansen-Hodrick-standaardfouten van 0,3 à 0,4 loopt het 95%-interval van ongeveer 0,2 tot 1,3 voor $n = 2$ en van 0,4 tot 2,0 voor $n = 5$. Fama-Bliss, Cochrane-Piazzesi en het string-model liet bovendien met simulatie zien dat deze $t$-toets met overlappende jaarrendementen te vaak verwerpt. Voor de periode van Cochrane en Piazzesi vond die lecture 0,97; 1,20; 1,40 en 1,59, tegen hun gepubliceerde 0,99; 1,35; 1,61 en 1,27. Het teken staat in elke steekproef, de omvang niet, en een $R^2$ van 8 à 10% zegt dat de voorspelbare premie klein is naast het renterisico. Zekerheid: hoog voor het falen van de EH, middel voor de omvang van de premie en voor de claim dat ze na kosten te exploiteren is.

Praktijkles. De obligatiepremie is groter wanneer de curve steil is, en dat is precies wanneer lange obligaties het meest riskant aanvoelen. Wie dan koopt, draagt beprijsd renterisico. Wie denkt dat hij de rente zelf kan voorspellen, concurreert met de forward rate, en die verliest het van bijna niemand.

6.99. Liquiditeit is geprijsd en verdwijnt wanneer ze nodig is¶

Stelling. “Liquidity is priced, and it disappears when you need it.”

Waarom. Illiquide activa zijn duurder om te verhandelen en daarom goedkoper om te kopen Amihud (2002); aandelen die slecht presteren als de marktliquiditeit opdroogt, dragen een premie Pástor & Stambaugh (2003) (Kyle, Glosten-Milgrom en liquiditeit). Dat opdrogen gebeurt in crises, omdat marktliquiditeit en financieringsliquiditeit elkaar versterken (Brunnermeier & Pedersen (2009), 2008 en intermediary asset pricing).

Hoe zeker. De verhandelbare liquiditeitsfactor heeft over 1968–2025 een vierfactor-alpha van 3,6% per jaar ($t = 2{,}06$), net boven de drempel. Tot 2003, het jaar van publicatie, is dat 5,4% ($t = 2{,}72$); sinds 2004 is het $-0{,}8\%$ met een standaardfout van 3,0 procentpunt. Die laatste standaardfout sluit nul niet uit, maar een premie van 5% evenmin (motief 1). De vijf maanden met de laagste marktliquiditeit zijn oktober 1987, november 1973, december 2008, oktober 2002 en september 1998, allemaal maanden van bekende marktstress. Het tweede deel van de stelling, dat liquiditeit verdwijnt wanneer ze nodig is, is dus goed gedocumenteerd. Het eerste deel, dat liquiditeit een premie heeft, rust hier op één verhandelbare factor waarvan de premie na publicatie niet meer zichtbaar is, en op de cross-sectie van Amihud, die we niet herhalen. Of de premie door arbitrage is verdwenen of er nog is maar niet te meten valt, laten 22 jaar data niet zien. Zekerheid: hoog voor het verdwijnen in crises, middel voor de premie.

Praktijkles. In de woorden die Kyle, Glosten-Milgrom en liquiditeit al citeerde: wie illiquide activa houdt, “should not assume he can sell them at the price in the last valuation report” Santa-Clara (2026). De premie is een vergoeding voor het leveren van liquiditeit op het moment dat niemand anders dat wil.

6.1010. Hefboom, mark-to-market en een deadline¶

Stelling. “Leverage plus mark-to-market plus a deadline is the recipe for ruin.”

Waarom. Een positie met positieve verwachte opbrengst kan toch ruïneus zijn als de financier tussentijds onderpand eist: het verlies wordt dan gerealiseerd op het slechtste moment, en het herstel komt voor iemand anders (VaR, RiskMetrics en LTCM, Shleifer & Vishny (1997)). De momentumcrashes van Jegadeesh-Titman, Carhart en momentum crashes en de dealers van 2008 in 2008 en intermediary asset pricing zijn hetzelfde mechanisme. We kopen de Amerikaanse markt met hefboom $L$ en lenen tegen de T-billrente, voor tien jaar, met een start in elke maand vanaf 1927. De financier sluit de positie zodra het eigen vermogen onder 25% van de positie zakt; daarna staat het resterende vermogen in T-bills. Zonder deadline houdt de belegger vol tot het eind (een negatief eindvermogen telt als nul).

Hoe zeker. Zonder hefboom krijgt geen enkel tienjaarsvenster een margin call, en het gemiddelde eindvermogen is 2,86 keer de inleg. Met hefboom 2 wordt 29% van de vensters gedwongen gesloten, met hefboom 3 58%. Het gemiddelde eindvermogen zonder deadline stijgt met de hefboom, van 2,86 naar 5,74: wie had kunnen volhouden, werd over deze eeuw met hefboom gemiddeld rijker, want de premie is positief. Met deadline is het gemiddelde bij hefboom 3 (3,86) niet hoger dan bij hefboom 2 (3,88). De mediane belegger met hefboom 3 eindigt op 1,37 keer zijn inleg, minder dan de helft van de mediaan zonder hefboom (2,81). Hetzelfde verwachte rendement, dezelfde markt, dezelfde tien jaar; het enige verschil is dat een financier het recht had de positie op het laagste punt te sluiten. De 1081 overlappende vensters bevatten maar een handvol onafhankelijke crashes (1929–1932, 1937, 1973–1974, 1987, 2000–2002, 2008 en 2020); de percentages hangen daaraan, het mechanisme niet. Zekerheid: hoog voor het mechanisme, middel voor de kansen.

Praktijkles. LTCM had het soort risico dat beprijsd was; wat het fonds fataal werd, was de overtuiging dat de hefboom veilig was. Santa-Clara zei over LTCM en de dealers van 2008 dat ze “had risk departments, models and limits, and were destroyed by losses their models had called impossible” Santa-Clara (2026). Het recept voor ruïne bevat drie ingrediënten, en een belegger kan er altijd één weglaten.

6.1111. Particulieren handelen te veel en houden de verkeerde dingen¶

Stelling. “Individuals trade too much and hold the wrong things.”

Waarom. Odean (1998) vond bij 10 000 rekeningen van een discountbroker dat beleggers winnaars sneller verkopen dan verliezers (een aandeel gerealiseerde winsten van 0,148 tegen 0,098 voor verliezen), en dat de verkochte winnaars het jaar erna 3,4 procentpunt beter deden dan de aangehouden verliezers. Barber & Odean (2000) vonden bij 66 465 huishoudens over 1991–1996 dat “those that trade most earn an annual return of 11.4 percent, while the market returns 17.9 percent”. De mechanismen (overconfidence, prospect theory, het disposition effect) staan in Behavioral finance en limits of arbitrage. Rekeningdata zijn niet gratis; we meten daarom wat die twee gewoonten kosten op portefeuilles die er het dichtst bij komen. Wie winnaars verkoopt en verliezers houdt, staat short in momentum; wie drie aandelen kiest, draagt onbeloond risico.

Hoe zeker. Een portefeuille die de verliezers van het afgelopen jaar koopt en de winnaars verkoopt, verloor over 1927–2026 13,8% per jaar ($t = -5{,}0$). Dat is een bovengrens voor wat het disposition effect kost: een particulier houdt niet het hele verliezersdeciel en verkoopt niet het hele winnaarsdeciel, en het verschil van 3,4 procentpunt dat Odean mat, ligt er ruim onder. Van de 3000 willekeurige portefeuilles van drie industrieën had 82% een lagere Sharpe-ratio dan de markt, met een mediaan van 0,40 tegen 0,47. Drie industrieën zijn nog altijd honderden aandelen; voor drie losse aandelen is het verlies groter. De stelling bestaat uit twee delen met een verschillende status. Dat particulieren zo handelen, is gemeten op rekeningdata Odean (1998)Barber & Odean (2000), maar niet door ons. Wat het kost, volgt uit stellingen 1, 2 en 6, en die zijn hierboven gedemonstreerd. Zekerheid: hoog.

Praktijkles. Particulieren doen precies het omgekeerde van wat de eerste tien stellingen aanraden: ze concentreren, ze betalen, en ze handelen op nieuws dat de prijs al kent. Het is Santa-Clara’s zin in zijn meest alledaagse vorm: het verlies komt uit “thinking I knew something the price did not”, en de propositie hierboven zegt waarom één op de zeven toch denkt dat het werkte.

7Wat er brak, en wat daarna kwam¶

7.1De balans in één tabel¶

Wat de lijst verklaart. Genoeg om een leven lang goed te beleggen: spreid, betaal weinig, draag de premies die er zijn met een horizon die lang genoeg is, gebruik geen hefboom die een financier op het slechtste moment kan intrekken, en wantrouw het gevoel iets te weten. Opvallend is dat vrijwel alle adviezen over wat een belegger niet moet doen met hoge zekerheid staan, en vrijwel alle uitspraken over hoe groot een beloning is met middelmatige.

Waar het breekt. Bij de eerste momenten, zoals het 2%-motief voorspelde. De equity premium, de factorpremies, de obligatiepremie en de liquiditeitspremie hebben het goede teken in elke steekproef hierboven, maar hun omvang ligt steeds binnen een interval van meerdere procentpunten. Drie ervan (HML, carry en de liquiditeitsfactor) worden in de tweede helft van hun steekproef of na publicatie zwakker, en de low-beta-premie haalde in onze eenvoudige constructie de verwachte drempel niet. En twee stellingen, over de hedge en over hefboom, rusten op een mechanisme dat onomstreden is en een handvol episodes die niet onafhankelijk zijn: 1929–1933, 1987, 1998, 2008 en 2020.

Risico of vergissing? De lijst is opvallend neutraal. Voor stellingen 1, 2, 5, 7 en 10 doet de vraag er niet toe; het zijn identiteiten, tweede momenten en mechanismen. Voor stellingen 4, 6, 8 en 9 zegt de Chicago-lezing dat de premies beloningen zijn voor risico dat in slechte tijden uitkomt, en de Yale-lezing dat het vergissingen zijn die blijven bestaan omdat arbitrage beperkt is. De data hierboven laten zien dat de premies er zijn en dat ze in crises verliezen, en dat past bij beide. Stellingen 3 en 11 vormen een merkwaardig paar: de prijs verwerkt publieke informatie snel, terwijl de beleggers die haar samen zetten aantoonbaar fouten maken. Grossman en Stiglitz (LLM’s, advies en efficiëntie) en de limits of arbitrage (Behavioral finance en limits of arbitrage) maken die combinatie consistent, maar beslissen niet welk kamp gelijk heeft over de premies. Santa-Clara’s zin kiest evenmin; hij zegt alleen dat het verschil tussen de lezingen voor een belegger het verschil is tussen wat blijft en wat verdwijnt.

Wat er daarna kwam. De elf stellingen zijn wat overbleef nadat de barsten van zevenendertig lectures waren opgeruimd; de barsten die níet zijn opgeruimd, de vragen waarop het vak na anderhalve eeuw nog geen antwoord heeft, zijn het onderwerp van Wat we niet weten.

8Oefeningen¶

mom_d = hap_data.french("F-F_Momentum_Factor", "daily")["Mom"].dropna()
rv_mom = (mom_d**2).groupby(mom_d.index.to_period("M")).sum()
rv_mom.index = rv_mom.index.to_timestamp(how="end").normalize()
m = pd.DataFrame({"log_rv": np.log(rv_mom), "mom": mom}).loc["1927":"2025"].dropna()

rows = {}
for name, (y, x) in {"log RV(t+1) op log RV(t)": (m["log_rv"].shift(-1), m[["log_rv"]]),
                     "Mom(t+1) op Mom(t)": (m["mom"].shift(-1), m[["mom"]]),
                     "Mom(t+1) op log RV(t)": (m["mom"].shift(-1), m[["log_rv"]])}.items():
    fit = hap.stats.newey_west(y, x, lags=6)
    rows[name] = {"helling": fit.params.iloc[1], "t (NW)": fit.tvalues.iloc[1], "R2": fit.rsquared}
pd.DataFrame(rows).T.round(3)

early = gw.loc["1871":"1926"]
early_ret = ((early["Index"] + early["D12"]) / early["Index"].shift(1) - 1).dropna()
early_ep = (early_ret - early["Rfree"].reindex(early_ret.index)).dropna()

rows = {}
for name, series in {"1872-1926": early_ep, f"{ep.index[0]:%Y}-{ep.index[-1]:%Y}": ep}.items():
    mean, sd, n = series.mean(), series.std(), len(series)
    rows[name] = {"jaren": n, "premie (%)": 100 * mean, "SE (%)": 100 * sd / np.sqrt(n),
                  "t": mean / (sd / np.sqrt(n)), "jaren nodig voor t = 3": (3 * sd / mean) ** 2}
pd.DataFrame(rows).T.round(2)

six = hap_data.french("6_Portfolios_ME_Prior_12_2")
lw = pd.DataFrame({"klein": six["SMALL LoPRIOR"] - six["SMALL HiPRIOR"],
                   "groot": six["BIG LoPRIOR"] - six["BIG HiPRIOR"]}).dropna()
lw["klein min groot"] = lw["klein"] - lw["groot"]

rows = {}
for period, (start, end) in {"1927-2026": ("1927", "2026"), "2000-2026": ("2000", "2026")}.items():
    for col in lw:
        s = lw[col].loc[start:end]
        rows[(period, col)] = {"gem. (%/jr)": 1200 * s.mean(), "SE (%/jr)": 1200 * s.std() / np.sqrt(len(s)),
                               "t": s.mean() / (s.std() / np.sqrt(len(s)))}
pd.DataFrame(rows).T.round(2)