Kyle, Glosten-Milgrom en liquiditeit

1Overzicht¶

Dit college vraagt hoe private informatie via de handel in de prijs komt, en of beleggers betaald krijgen voor de kosten die dat meebrengt. Een market maker die weet dat een deel van zijn klanten meer weet, moet een spread en een prijsimpact rekenen, zodat de prijs de informatie geleidelijk opneemt. Illiquiditeit gaat samen met hogere verwachte en lagere gelijktijdige rendementen, maar de premie op liquiditeitsrisico is na publicatie niet meer te zien.

• We leiden de spread van Glosten en Milgrom af en het evenwicht van Kyle, met één en met vele handelsronden.

• We vertalen die theorie met de maten van Roll en Amihud naar dagkoersen, en volgen hoe liquiditeit als niveau en als risico in verwachte rendementen komt.

• We simuleren hoe vaak de Roll-maat in een kwartaal of een jaar niet te berekenen is.

• We repliceren op vijftig grote Amerikaanse aandelen dat illiquiditeit piekt in 2008 en maart 2020 en samengaat met lage marktrendementen Amihud (2002), en op de reeks van Pástor en Stambaugh dat liquiditeit in crisismaanden instort.

Tot het midden van de jaren tachtig was de prijs in de theorie een getal dat “de markt” zette, zonder bied- of laatkoers en zonder een handelaar die hem noteerde. Glosten en Milgrom Glosten & Milgrom (1985) lieten in 1985 zien dat een concurrerende market maker (een handelaar die altijd bereid is te kopen en te verkopen) toch een spread moet rekenen. De reden is dat een deel van zijn tegenpartijen beter geïnformeerd is. Kyle Kyle (1985) liet in hetzelfde jaar zien hoe een insider zijn informatie verstopt achter ongeïnformeerde order flow (de som van alle koop- en verkooporders). Beide modellen zijn theorieën met toetsbare voorspellingen, maar de empirie die volgde, van Roll Roll (1984) tot Pástor en Stambaugh Pástor & Stambaugh (2003), maakte van liquiditeit een risicofactor en daarmee een feit dat nog op een verklaring wacht. Santa-Clara zet dat feit in zijn lijst van wat we weten zo neer Santa-Clara (2026):

Liquidity is priced, and it disappears when you need it.

2Intuïtie: waarom zou dit waar zijn?¶

Denk aan een handelaar die iedereen bedient die wil kopen of verkopen. De meeste klanten handelen om redenen die niets met de waarde van het aandeel te maken hebben, zoals een pensioenfonds dat geld nodig heeft. Een klein deel weet iets, en de handelaar kan de groepen niet uit elkaar houden. Verkoopt hij aan elke koper tegen de gemiddelde waarde, dan verliest hij stelselmatig aan de geïnformeerde kopers, want die kopen juist als het aandeel meer waard is.

Hij verkoopt daarom tegen de waarde gegeven dat iemand wil kopen, en koopt tegen de waarde gegeven dat iemand wil verkopen. Het verschil is geen winstmarge, maar een premie die de ongeïnformeerde klanten betalen voor wat de handelaar aan de geïnformeerde verliest. Na een reeks kooporders gelooft hij in goed nieuws, zodat zijn koersen omhoog schuiven en de spread kleiner wordt naarmate hij zekerder is.

Kyle voegde de strategie van de insider toe. Een insider die de waarde kent, wil veel kopen, maar elke extra order drijft de koers op en verraadt hem. Hij verstopt zijn orders daarom tussen die van de ongeïnformeerde handelaren, en hoe meer ruis er is, hoe meer hij kan kopen zonder op te vallen. Zijn winst komt uit de zak van de ongeïnformeerde handelaren.

Als handelen zo geld kost, vragen beleggers voor illiquide aandelen een hoger rendement. Liquiditeit verdwijnt bovendien voor iedereen tegelijk, zoals in 1987, bij de val van LTCM in 1998 (VaR, RiskMetrics en LTCM), in 2008 en in maart 2020, en dus precies wanneer beleggers moeten verkopen. We verwachten daarom dat de spread het grootst is bij de grootste onzekerheid en met elke order krimpt. Verder verwachten we dat illiquide aandelen gemiddeld meer opleveren en dat koersen dalen in een maand waarin de liquiditeit onverwacht opdroogt.

3Toy-voorbeeld: één market maker, één order, één insider¶

De eerste codecel laadt de pakketten die het hele college gebruikt.

3.1Glosten-Milgrom met één transactie¶

Omdat de market maker verwacht niets verdient, is zijn laatkoers de verwachte waarde gegeven een kooporder en zijn biedkoers de verwachte waarde gegeven een verkooporder. Met de regel van Bayes volgen die koersen in vijf stappen.

1. De kans op een koop is $0{,}2 + 0{,}8\cdot\tfrac12 = 0{,}6$ als de waarde hoog is en $0{,}8\cdot\tfrac12 = 0{,}4$ als ze laag is, zodat $P(\text{koop}) = 0{,}5$.

2. Dan is $P(H\mid\text{koop}) = 0{,}5\cdot0{,}6/0{,}5 = 0{,}6$ en $P(H\mid\text{verkoop}) = 0{,}4$.

3. De laatkoers is $0{,}6\cdot102 + 0{,}4\cdot98 = 100{,}40$ en de biedkoers $0{,}4\cdot102 + 0{,}6\cdot98 = 99{,}60$, dus de spread is $0{,}80 = \mu(V_H - V_L)$.

4. Na een koop is het oordeel $0{,}6$, zodat een volgende koop kans $0{,}6\cdot0{,}6 + 0{,}4\cdot0{,}4 = 0{,}52$ heeft, waarvan $0{,}6\cdot0{,}6 = 0{,}36$ bij een hoge waarde. De laatkoers wordt dan $98 + 4\cdot0{,}36/0{,}52 = 100{,}77$ en de biedkoers $98 + 4\cdot0{,}6\cdot0{,}4/0{,}48 = 100{,}00$.

5. De verwachte volgende transactieprijs is $0{,}52\cdot100{,}77 + 0{,}48\cdot100{,}00 = 100{,}40$, gelijk aan de huidige.

De spread krimpt dus van 0,80 naar 0,77 euro zodra de market maker iets heeft geleerd, en de prijs die we na één koop verwachten, is de prijs van nu. Die tweede eigenschap heet de martingaaleigenschap.

3.2Kyle met één handelsronde¶

Het evenwicht van Kyle nemen we hier over zonder afleiding, want de afleiding volgt pas in de theorie. De insider koopt $\beta = \sigma_u/\sigma_v$ aandelen per euro dat de waarde boven $p_0$ ligt, en de prijs stijgt $\lambda = \sigma_v/(2\sigma_u)$ euro per aandeel order flow.

1. Hier is $\beta = 10\,000/4 = 2500$ en $\lambda = 4/20\,000 = 0{,}0002$, zodat een order van 10.000 aandelen de prijs 2 euro verschuift.

2. Bij $v = 53$ en $u = -4000$ koopt de insider $2500\cdot3 = 7500$ aandelen, is de order flow 3500 en wordt de prijs $50 + 0{,}0002\cdot3500 = 50{,}70$.

3. De insider verdient $7500\cdot2{,}30 = 17\,250$ euro. De noise traders verkochten per saldo 4000 aandelen en verliezen 9200 euro, en de market maker verkocht er 3500 en verliest 8050 euro.

De som is nul, en dat de market maker hier verliest, is toeval, want gemiddeld speelt hij quitte. De codecel rekent beide markten na en zet handberekening en code naast elkaar.

Code en handberekening komen overeen, op de afronding van de laatkoers na een koop na. De spread van 0,80 euro is wat een ongeïnformeerde klant voor een aan- en verkoop betaalt, alleen omdat een op de vijf handelaren de waarde kent. De prijsimpact $\lambda$ is voor de insider een kost van dezelfde soort. Elk aandeel dat hij koopt, drijft zijn eigen koopprijs op, zodat hij bij een voordeel van 3 euro niet onbeperkt koopt.

4Theorie¶

De theorie gaat in drie stappen van de handelsvloer naar verwachte rendementen en sluit af met het marktontwerp van vandaag. Eerst leiden we de spread van Glosten en Milgrom en het evenwicht van Kyle af. Daarna halen we met de maten van Roll en Amihud dezelfde grootheden uit dagkoersen, en tot slot volgen we liquiditeit als niveau en als risico. De kern is dat spread en prijsimpact geen kosten van de market maker zijn, maar de prijs van informatie.

4.1Opzet en notatie¶

We gebruiken de symbolen van Kyle, zodat $\lambda$ de prijsimpact van order flow is en $\beta$ de handelsintensiteit van de insider, en niet de prijs van risico of de subjectieve discontofactor. De prijs van marktrisico heet daarom $\lambda_m$. De liquidatiewaarde van het aandeel is $v$ (de payoff), de order van de insider $\theta$, de order van de noise traders $u$ en de totale order flow $y = \theta + u$. Alle handelaren zijn risiconeutraal en de rente is nul.

Bij Glosten en Milgrom komen handelaren één voor één met één aandeel, en zet de market maker vooraf een bied- en een laatkoers. Bij Kyle dienen alle handelaren tegelijk een marktorder in, een order zonder limietprijs, en zet de market maker één prijs op basis van de som. Het eerste model levert dus spreads en het tweede prijsimpact, maar in beide dwingt concurrentie de prijs naar de verwachte waarde van $v$ gegeven de order flow.

4.2Glosten-Milgrom: de spread als adverse selectie¶

De spread van Glosten en Milgrom bestaat alleen omdat een order iets verraadt over de waarde. Een market maker die alle orders tegen dezelfde prijs uitvoert, verliest aan geïnformeerde handelaren en wint niets terug van de rest. Omdat een koop op goed nieuws wijst en een verkoop op slecht nieuws, speelt hij alleen quitte als zijn laatkoers boven zijn biedkoers ligt.

Het bewijs past de regel van Bayes toe op beide koersen en trekt ze van elkaar af. Bij $\pi = \tfrac12$ en $\mu = 0{,}2$ geeft (1) de spread van 0,80 euro uit het toy-voorbeeld. Na één koop is $\pi = 0{,}6$, zodat de noemer $0{,}9984$ wordt en de spread $4\cdot0{,}2\cdot0{,}24\cdot4/0{,}9984 = 0{,}77$. De spread is dus het grootst bij de grootste onzekerheid en krimpt naarmate de prijs de informatie opneemt, terwijl een hogere $\mu$ hem breder maakt omdat elke order dan meer verraadt.

Zo’n spread bestaat zonder voorraadkosten of risicoaversie en is dus zuiver adverse selection (het verlies aan beter geïnformeerde tegenpartijen), het uitgangspunt van het leerboek van O’Hara O'Hara (1995). De martingaaleigenschap geldt alleen ten opzichte van de publieke informatie, want voor iemand die $V$ kent, loopt de prijs voorspelbaar op of af. Het model maakt zo de stelling van Samuelson uit Fama en de efficiënte markt precies, want een prijs die een verwachte waarde is, verandert alleen onvoorspelbaar voor wie alleen de orderhistorie kent.

4.3Kyle: het evenwicht met één handelsronde¶

In de markt van Kyle neemt de prijs na één ronde precies de helft van de onzekerheid over $v$ weg, gemeten als variantie, hoeveel ruis er ook is. De insider weet dat zijn eigen order de prijs opdrijft. Daarom koopt hij, zoals een monopolist de helft van de concurrerende hoeveelheid levert, de helft van de positie waarbij de prijs tot $v$ zou stijgen. De market maker zet de prijs op de regressie van $v$ op $y$. Handelt de insider agressiever, dan wordt $y$ informatiever en stijgt $\lambda$, en een hogere $\lambda$ maakt de insider weer voorzichtiger, zodat het evenwicht ligt waar die twee reacties elkaar vinden.

In het bewijs neemt de insider $\lambda$ als gegeven en koopt hij $(v-p_0)/(2\lambda)$, de helft van de positie $(v-p_0)/\lambda$ waarbij de prijs tot $v$ zou stijgen. De market maker neemt $\beta$ als gegeven en haalt $\lambda$ uit het projectietheorema. Met de getallen uit het toy-voorbeeld verdient de insider gemiddeld $\tfrac12\cdot4\cdot10\,000 = 20\,000$ euro en daalt de variantie van $v$ van 16 naar 8.

De diepte van de markt, $1/\lambda$, stijgt met de ruis en daalt met de private informatie. Verdubbelt $\sigma_u$, dan handelt de insider twee keer zoveel en verdient hij twee keer zoveel, maar blijft de helft van de variantie over, zoals het beeld van de verstopte insider deed verwachten. Meer noise traders maken de markt dus dieper en de insider rijker, maar de prijs niet dommer. Zo ontsnapt het model aan de paradox van Grossman en Stiglitz, omdat de verliezen van de noise traders het verzamelen van informatie betalen.

4.4Kyle met vele handelsronden¶

Mag de insider over vele ronden handelen, dan komt zijn informatie in een constant tempo in de prijs. Wat hij nu verraadt, kan hij later niet meer uitbuiten, dus houdt hij informatie achter tot hij onverschillig is tussen nu en later handelen.

Kyle deelt de handelsperiode op in $N$ ronden met $\Delta t = 1/N$, waarin de noise traders per ronde een order $\Delta u_n \sim N(0, \sigma_u^2\Delta t)$ inleggen Kyle (1985). De insider handelt $\Delta\theta_n = \beta_n(v - p_{n-1})\Delta t$, de prijs wordt $p_n = p_{n-1} + \lambda_n(\Delta\theta_n + \Delta u_n)$, en $\Sigma_n$ is de onzekerheid over $v$ die na ronde $n$ over is. De coëfficiënt $\alpha_n$, geen alpha in de gewone betekenis, meet wat een resterend prijsverschil $v - p_n$ de insider later oplevert. Een grote $\alpha_n$ maakt hem in ronde $n$ dus terughoudender.

Kyle (1985, stelling 2 en 3) bewijst dit door te veronderstellen dat de resterende winst kwadratisch is in $v - p_n$ en die veronderstelling achteruit te bevestigen vanaf $\alpha_N = \delta_N = 0$. In de limiet verdient de insider twee keer zoveel als in één ronde, omdat hij zijn informatie over de tijd kan spreiden.

4.5Numerieke oplossing van Kyles recursie¶

Al bij tien ronden ligt het evenwicht dicht bij de continue limiet uit de propositie, met een constante prijsimpact en een lineair dalende onzekerheid. Per ronde geven de eerste twee vergelijkingen samen een derdegraadsvergelijking in $\lambda_n$. We kiezen de positieve wortel met $\alpha_n\lambda_n < \tfrac12$, omdat alleen die een positieve $\beta_n$ en de tweede-ordevoorwaarde geeft. Omdat het stelsel homogeen is in $\Sigma$, lossen we achteruit op vanaf $\Sigma_N = 1$. Aan het eind vermenigvuldigen we alle $\Sigma_n$ met één factor $k$, $\lambda_n$ met $\sqrt{k}$ en $\beta_n$ met $1/\sqrt{k}$. Dat doen we voor 1, 4, 10 en 50 ronden met $\sigma_v = \sigma_u = 1$.

Bij $N = 1$ geeft de recursie het evenwicht van Theorem 2 terug, met $\lambda = 0{,}5$ en de helft van de variantie over. Naarmate $N$ groeit, gaat $\lambda$ naar 1 en de restvariantie naar nul, terwijl de verwachte winst bij 50 ronden 0,95 is. Om te zien of de prijs zich ook in steekproeven zo gedraagt, simuleren we 20.000 markten met 50 ronden.

De gesimuleerde restvariantie is na 25 ronden 0,528 tegen 0,531 in theorie, en opeenvolgende prijsveranderingen zijn ongecorreleerd. De prijs is dus een martingaal ten opzichte van de order flow, ook al handelt er iemand die de uitkomst kent. De linker figuur legt de punten van de simulatie naast de rechte lijn $1 - t$ van de continue limiet.

De figuur toont gemiddelden, maar de winst van één insider spreidt ruim, en over die spreiding zegt de propositie niets. De standaarddeviatie van de insiderwinst per markt is 1,024, iets meer dan het gemiddelde van 0,950, zodat een insider met perfecte informatie na twintig handelsdagen een $t$-waarde van ongeveer $\sqrt{20}\cdot0{,}950/1{,}024 \approx 4{,}1$ haalt. Een handelaar met een klein voordeel heeft daar jaren voor nodig. Het probleem van de standaardfout van 2% bestaat dus ook op de handelsvloer, want ook iemand met echte informatie kan zijn voordeel moeilijk bewijzen.

Een Glosten-Milgrom-sessie: een martingaal voor wie de waarde niet kent

In de markt van het toy-voorbeeld simuleren we 5000 handelsdagen van elk 60 orders, waarbij de market maker na elke order zijn oordeel bijwerkt.

n_sessions, n_trades = 5_000, 60
q_high, q_low = MU + (1 - MU) / 2, (1 - MU) / 2
is_high = rng.random(n_sessions) < 0.5
belief = np.full(n_sessions, 0.5)
spreads = np.empty((n_sessions, n_trades))
beliefs = np.empty((n_sessions, n_trades + 1))
beliefs[:, 0] = belief
for n in range(n_trades):
    bid, ask = gm_quotes(belief, MU, V_H, V_L)
    spreads[:, n] = ask - bid
    informed = rng.random(n_sessions) < MU
    buy = np.where(informed, is_high, rng.random(n_sessions) < 0.5)
    like_high = np.where(buy, q_high, 1 - q_high)
    like_low = np.where(buy, q_low, 1 - q_low)
    belief = belief * like_high / (belief * like_high + (1 - belief) * like_low)
    beliefs[:, n + 1] = belief

value_path = V_L + (V_H - V_L) * beliefs
increments = np.diff(value_path, axis=1)
pd.DataFrame(
    {
        "gemiddelde prijsverandering": [increments.mean(), increments[is_high].mean(), increments[~is_high].mean()],
        "autocorrelatie prijsveranderingen": [
            np.corrcoef(increments[:, 1:].ravel(), increments[:, :-1].ravel())[0, 1],
            np.nan,
            np.nan,
        ],
    },
    index=["alle sessies (publieke informatie)", "sessies met V = V_H", "sessies met V = V_L"],
).round(4)

Loading...

Over alle dagen samen is de gemiddelde prijsverandering nul, maar op dagen met een hoge waarde loopt de prijs voorspelbaar op. Beide uitspraken zijn waar, omdat de martingaaleigenschap bij een informatieverzameling hoort en niet bij een prijspad. De figuur toont links de krimpende spread en rechts het pad van de verwachte waarde in zes sessies. De brede band links laat zien hoe toevallig het tempo van prijsontdekking op één dag is.

Source

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5))
trade_no = np.arange(1, n_trades + 1)
axes[0].fill_between(trade_no, np.percentile(spreads, 10, axis=0), np.percentile(spreads, 90, axis=0),
                     alpha=0.25, label="10e–90e percentiel")
axes[0].plot(trade_no, spreads.mean(axis=0), label="gemiddelde")
axes[0].plot(trade_no, np.median(spreads, axis=0), ls="--", label="mediaan")
axes[0].set_title("De spread krimpt naarmate informatie in de prijs komt")
axes[0].set_xlabel("Ordernummer binnen de sessie")
axes[0].set_ylabel("Spread (euro)")
axes[0].legend()
for s in range(6):
    axes[1].plot(np.arange(n_trades + 1), value_path[s], lw=1.2, color="C0" if is_high[s] else "C1")
axes[1].axhline(V_H, color="grey", ls=":", lw=1)
axes[1].axhline(V_L, color="grey", ls=":", lw=1)
axes[1].set_title("Verwachte waarde in zes sessies (blauw: $V_H$, rood: $V_L$)")
axes[1].set_xlabel("Ordernummer binnen de sessie")
axes[1].set_ylabel("Verwachte waarde na de order (euro)")
plt.show()

4.6Roll: de spread uit de autocovariantie¶

Uit gewone transactiekoersen is de spread terug te rekenen, omdat de sprong tussen bied en laat een negatieve autocovariantie achterlaat. De fundamentele waarde verandert onvoorspelbaar, maar transacties vinden afwisselend tegen de biedkoers en de laatkoers plaats. Na een transactie tegen de laatkoers volgt daarom vaker een daling dan een stijging, en dat heen en weer springen, de bid-ask bounce, maakt opeenvolgende koersveranderingen negatief gecorreleerd.

Een spread van 0,80 euro, zoals in het toy-voorbeeld, laat volgens (6) een autocovariantie van $-0{,}80^2/4 = -0{,}16$ achter. Op rendementen geeft dezelfde formule de relatieve spread. Het model laat geen ruimte voor andere autocorrelatie, zodat een positieve autocovariantie de wortel ongedefinieerd maakt en een negatieve door overreactie als spread wordt gelezen. Het signaal is bovendien klein, want bij een spread van één basispunt en een dagvolatiliteit van 1,5% is $|\rho_1|$ van de orde 10^-5.

4.7Amihud: prijsimpact uit dagdata¶

Ook zonder transactiedata is Kyles $\lambda$ bij benadering te meten, als koersbeweging per dollar omzet. Grote koersbewegingen bij weinig omzet wijzen op een ondiepe markt, en Amihud Amihud (2002) definieerde daarom voor aandeel $i$ met $D_i$ handelsdagen in een jaar

met $r_{i,d}$ het dagrendement en $\mathrm{DVOL}_{i,d}$ de omzet in dollars. Een aandeel dat op een dag met 10 miljoen dollar omzet 1% beweegt, heeft die dag een ILLIQ van 0,1% per miljoen dollar.

In echte markten komt er ook publiek nieuws in de prijs en is de omzet groter dan de netto order flow, zodat ILLIQ alleen een ruisend signaal van $\lambda$ is. Het signaal is wel bruikbaar, omdat de ruis over een jaar dagdata grotendeels uitmiddelt en de rangorde van aandelen naar diepte blijft staan.

4.8Liquiditeit in de prijs: het niveau¶

Illiquide aandelen moeten meer opleveren, maar minder dan evenredig met hun spread. Een belegger die een aandeel na $h$ jaar verkoopt, betaalt de spread één keer, dus $s/h$ per jaar. Aandelen met hoge spreads belanden daardoor bij beleggers met een lange horizon. Voor hen weegt de spread het minst, zodat het vereiste rendement minder hard stijgt dan de spread. Amihud en Mendelson Amihud & Mendelson (1986) vonden precies dat het verwachte rendement met de spread stijgt, maar steeds minder snel.

Amihud bracht de vraag later naar de tijdreeks, met een regressie van het overrendement van de markt op de illiquiditeit van de markt,

waarin $\ln\mathrm{ILLIQ}^{u}$ de onverwachte illiquiditeit is, de schok uit een AR(1). Verwachte illiquiditeit verhoogt het verwachte overrendement, dus $g_1 > 0$. Onverwachte illiquiditeit verlaagt het rendement in dezelfde periode, dus $g_2 < 0$, omdat een blijvende schok het vereiste rendement voor de toekomst verhoogt en de prijs vandaag laat dalen. Op jaardata voor NYSE-aandelen over 1964–1997 vond Amihud beide tekens.

4.9Liquiditeit als risico: Pástor-Stambaugh en Acharya-Pedersen¶

Omdat marktliquiditeit in de tijd varieert en alle aandelen tegelijk raakt, is ze ook een risico. Ze is een toestandsvariabele zoals in het ICAPM (Merton: continue tijd en het ICAPM), waar een activum dat slecht rendeert als de toestand verslechtert, meer moet opleveren. Een aandeel dat daalt wanneer de markt illiquide wordt, verliest dus waarde op het moment dat beleggers geld het hardst nodig hebben.

Pástor en Stambaugh Pástor & Stambaugh (2003) maten de liquiditeit van aandeel $i$ in maand $t$ als de coëfficiënt $\gamma_{i,t}$ in de regressie op dagdata

met $r^e$ het rendement boven de markt, $v$ hier de dollaromzet en $\theta_{i,t}$ en $\phi_{i,t}$ gewone regressiecoëfficiënten. Getekende omzet benadert de order flow, en in een illiquide markt wordt een koersbeweging die door orders komt deels teruggedraaid, zodat $\gamma_{i,t}$ negatief is. Het gemiddelde over aandelen, min het voorspelbare deel, levert innovaties $\mathcal{L}_t$, en de liquiditeitsbèta $\beta_{i,\mathcal{L}}$ is de helling daarop naast de drie Fama-French-factoren. Aandelen met een hoge voorspelde liquiditeitsbèta leverden na correctie voor vier factoren ongeveer 7,5% per jaar meer op dan aandelen met een lage.

Acharya en Pedersen Acharya & Pedersen (2005) leidden in een economie met wisselende handelskosten $c_{i,t}$ een CAPM af voor rendementen na kosten. In bruto rendementen en in onze notatie geeft dat

met $\lambda_m$ de prijs van marktrisico na kosten (de verwachte marktpremie min de handelskosten van de markt, enkele procenten per jaar) en $\beta_{i,1}$ de gewone marktbèta. De andere drie bèta’s belonen een aandeel dat illiquide wordt als de markt illiquide wordt ($\Cov(c_i, c_m)$), dat slecht rendeert als de markt illiquide wordt ($\Cov(r_i, c_m)$), en dat illiquide wordt als de markt daalt ($\Cov(c_i, r_m)$). Met ILLIQ als maat voor $c_i$ schatten ze over 1963–1999 dat liquiditeitsrisico ongeveer 1,1% per jaar bijdraagt aan het verschil tussen de meest en de minst illiquide aandelen. De drie bèta’s zijn wel sterk gecorreleerd, zodat de verdeling over de kanalen onzeker is.

4.10Marktontwerp: van specialist naar batchveiling¶

De modellen van 1985 beschrijven een specialist, maar vandaag voeren algoritmen de orders uit in een doorlopend orderboek. Budish, Cramton en Shim Budish et al. (2015) lieten zien dat de correlatie tussen een indexfuture en een indexfonds op de schaal van milliseconden wegvalt. Dat levert mechanische arbitragekansen op, en concurrentie verkleint die niet maar drijft alleen de vereiste snelheid op. Een handelaar met een staande koers wordt na elk publiek signaal door de snelste handelaar uitgebuit, net als de market maker van Glosten en Milgrom, en dat verlies zit in de spread. De auteurs stelden daarom frequent batch auctions voor, veilingen die alle orders van bijvoorbeeld een tiende seconde tegen één prijs uitvoeren.

5Simulatie: de Roll-schatter in eindige steekproeven¶

Hoe vaak is de Roll-maat in een steekproef van gewone lengte niet te berekenen? Tweede momenten zijn meestal goed meetbaar, maar het signaal $-s^2/4$ is klein naast de variantie van de koersveranderingen. De standaardfout van een steekproefautocovariantie is bij een i.i.d.-benadering ongeveer $\Var(\Delta p)/\sqrt{T}$, zodat voor de kans op een positieve en dus onbruikbare schatting geldt

Voor de spread van 0,80 euro uit het toy-voorbeeld bij een dagvolatiliteit van 1 euro is $\rho_1 = -0{,}16/1{,}32 = -0{,}121$. Over een kwartaal van 60 dagen is de kans dan $\Phi(-\sqrt{60}\cdot0{,}121) = \Phi(-0{,}94) \approx 0{,}17$, maar bij $s/\sigma_e = 0{,}01$ is ze bijna een half. We simuleren het model voor 22 verhoudingen $s/\sigma_e$ tussen 0,01 en 3, met $T = 60$ en $T = 250$ dagen en 4000 steekproeven per punt.

Bij $s/\sigma_e = 0{,}01$ is de autocovariantie in 46% van de kwartalen en 48% van de jaren positief, en pas bij een verhouding rond 1 bestaat de maat bijna altijd. De figuur zet simulatie en benadering naast elkaar, met de grote liquide aandelen in het grijze gebied.

Benadering en simulatie liggen vrijwel op elkaar. Beide laten zien dat een variantie goed meetbaar is, tenzij het deel dat we zoeken een honderdduizendste van het totaal is. De ruis is bovendien niet symmetrisch, want wie de Roll-maat alleen middelt over de jaren waarin ze bestaat, overschat de spread stelselmatig.

6Replicatie op echte data¶

6.1Amihud en Roll per aandeel¶

ILLIQ zet de vijftig aandelen in een plausibele volgorde, terwijl de Roll-maat vooral ruis meet. De codecel berekent per aandeel de dagelijkse ILLIQ in basispunten per miljoen dollar omzet en per jaar de Roll-spread uit de autocovariantie van de dagrendementen.

De tabel toont de vijf meest en de vijf minst liquide namen. Apple, Tesla en Amazon zijn het diepst en Super Micro het ondiepst, met ruim twee ordes van grootte ertussen. De Roll-maat is in 427 van de 1168 aandeel-jaren ongedefinieerd, ruim een derde, wat past bij de simulatie. Waar ze bestaat, geeft ze spreads van 60 tot 170 basispunten. Zulke waarden ontstaan omdat Rolls formule alle negatieve autocorrelatie in dagrendementen meet en niet alleen de bid-ask bounce. Bovendien tellen alleen de jaren met een negatieve schatting mee, het selectie-effect uit de simulatie. Per jaar bekijken we daarna de mediane Roll-spread en de mediane ILLIQ.

De Roll-maat pikt de crises wel op, met de hoogste mediane spread in 2020 en 2008, vooral omdat volatiliteit en omkeringen dan toenemen. De mediane ILLIQ daalt met ongeveer een factor dertig, omdat deze vijftig aandelen zo sterk zijn gegroeid, zodat we die trend eerst uit een marktbrede reeks moeten halen.

6.2Marktbrede illiquiditeit en het marktrendement¶

Marktbrede illiquiditeit piekt in 2008 en maart 2020 en gaat samen met lage gelijktijdige marktrendementen. We nemen per aandeel per maand de logaritme van de gemiddelde ILLIQ, trekken per aandeel het gemiddelde af en middelen over aandelen. Daarna schatten we de maandelijkse versie van Amihuds tijdreeksregressie met Newey-West-standaardfouten.

Het teken van $g_2$ is gerepliceerd, want een onverwachte stijging van de marktilliquiditeit gaat samen met een fors en zeer significant lager overrendement in dezelfde maand. Een deel daarvan zit mechanisch in de constructie, omdat een koersdaling $|r|$ verhoogt en de dollaromzet verlaagt. De coëfficiënt $g_1$ op de vertraagde illiquiditeit is klein, negatief en niet significant. Om een voorspellend verband voor het marktrendement aan te tonen, zijn echter decennia nodig (Voorspelbaarheid van rendementen), en 24 jaar van vijftig overlevenden is daarvoor te kort. De figuur laat onder de maanden zien waarin de illiquiditeit boven het gemiddelde van het voorgaande jaar uitschiet.

6.3Pástor-Stambaugh¶

De reeks van Pástor en Stambaugh laat zien dat liquiditeit in crises instort. Omdat hap.data geen loader voor deze reeks heeft, haalt de functie hieronder het bestand van Stambaughs Wharton-pagina één keer op en bewaart het in de cache.

De drie diepste maanden uit het artikel staan ook in de bijgewerkte reeks bij de laagste. De correlatie met het marktrendement ligt vrijwel op de gepubliceerde waarde, al gebruiken we de French-marktfactor in plaats van de NYSE-AMEX-index. Onze Amihud-innovatie correleert negatief met hun liquiditeitsinnovatie, zoals het hoort bij een maat voor illiquiditeit, maar zwak, omdat de twee maten verschillende kanten van liquiditeit meten. In de figuur vallen de diepe, korte uitschieters naar beneden op.

Tot slot schatten we de vierfactor-alpha van de verhandelbare factor over de hele periode en over de jaren voor en na publicatie.

De alpha over de hele periode is net significant, maar rust volledig op de jaren tot en met 2003, het jaar van publicatie. Daarna is de alpha licht negatief, en de standaardfout is zo groot dat 22 jaar data een premie als die van vóór 2003 aantonen noch uitsluiten. De tabel hieronder zet de drie perioden naast het origineel.

6.4Origineel en hier¶

Gedeeltelijk geslaagd. Het teken van $g_2$, de crisismaanden en de correlatie met het marktrendement komen uit zoals verwacht, en de Roll-maat is in ruim een derde van de aandeel-jaren ongedefinieerd. Dat $g_1 > 0$ niet uitkomt en de premie kleiner is dan gepubliceerd, lag binnen de verwachting. Dat de premie na 2003 niet meer te zien is, hadden we niet voorzien.

7Wat er brak, en wat daarna kwam¶

Wat het model verklaart. De microstructuurtheorie verklaart waarom er een spread is zonder dat iemand kosten maakt en waarom grote orders de prijs bewegen. Ze verklaart ook waarom prijzen voor het publiek een martingaal zijn terwijl insiders winst maken, en ze zegt hoeveel private informatie in de prijs komt, de helft in één ronde en alles bij doorlopende handel. Daarmee kreeg de efficiënte markt een mechanisme, en via Amihud en Pástor-Stambaugh raakte de handelsvloer verbonden met verwachte rendementen. Dat illiquiditeit in crises piekt en samengaat met lage gelijktijdige rendementen, is robuust.

Waar het breekt. Het model breekt niet in zijn logica, maar bij de meting. De Roll-maat is in ruim een derde van de aandeel-jaren ongedefinieerd en elders opgeblazen, omdat ze alle negatieve autocorrelatie als spread leest en alleen negatieve schattingen meetellen. ILLIQ meet Kyles $\lambda$ bovendien alleen met veel ruis. De premie op liquiditeitsrisico is in de twee decennia na publicatie in de eigen factor van Pástor en Stambaugh niet meer te zien, en de standaardfout is daar te groot om iets uit te sluiten.

Risico of vergissing? In de Chicago-lezing is illiquiditeit een kost die rationele beleggers in de prijs verwerken, en liquiditeitsrisico een toestandsvariabele die in slechte tijden toeslaat. Houders van illiquide activa verzekeren in die lezing de markt en worden daarvoor betaald, zodat het risico na 2003 kleiner was of we alleen ruis zien. In de Yale-lezing is illiquiditeit een vorm van de limits of arbitrage uit Behavioral finance en limits of arbitrage. Prijzen wijken af omdat arbitrageurs de posities niet kunnen volhouden, en de premie verdwijnt zodra genoeg kapitaal de kans ziet, zoals McLean en Pontiff voor gepubliceerde anomalieën vonden (De factor zoo).

Een risicopremie vergoedt verliezen in crises en een vergissing verdwijnt na publicatie, maar onze replicatie laat beide zien en beslist de vraag dus niet. Santa-Clara’s praktijkles past op beide lezingen, want wie illiquide activa houdt, kan ze volgens hem niet zomaar verkopen tegen de prijs uit de laatste waardering Santa-Clara (2026).

Wat er daarna kwam. De volgende vraag is wie die handelskosten betaalt en wie eraan verdient. De industrie als financier: indexfondsen, DFA, AQR zoekt het antwoord in de beleggingsindustrie, van actieve fondsen die hun informatievoordeel moeten terugverdienen tot indexfondsen die zo weinig mogelijk handelen.

8Oefeningen¶

belief_path, rows = 0.5, []
for k in range(1, 4):
    b, a = gm_quotes(belief_path, 0.5, V_H, V_L)
    belief_path = belief_path * 0.75 / (belief_path * 0.75 + (1 - belief_path) * 0.25)
    rows.append({"order": k, "bid vóór order": b, "ask vóór order": a, "oordeel na koop": belief_path})
print(pd.DataFrame(rows).round(4).to_string(index=False))

belief_path, n_buys = 0.5, 0
bid, ask = gm_quotes(belief_path, 0.2, V_H, V_L)
while ask - bid >= 0.10:
    belief_path = belief_path * 0.6 / (belief_path * 0.6 + (1 - belief_path) * 0.4)
    n_buys += 1
    bid, ask = gm_quotes(belief_path, 0.2, V_H, V_L)
print(f"\n(3) bij mu = 0.2: spread onder 0.10 na {n_buys} kooporders op rij (oordeel {belief_path:.4f})")

 order  bid vóór order  ask vóór order  oordeel na koop
     1            99.0        101.0000           0.7500
     2           100.0        101.6000           0.9000
     3           101.0        101.8571           0.9643

(3) bij mu = 0.2: spread onder 0.10 na 9 kooporders op rij (oordeel 0.9746)

n_markets = 200_000
rows = {}
for s_u in (10_000.0, 20_000.0):
    b_k, l_k = s_u / 4.0, 4.0 / (2 * s_u)
    v_sim = rng.normal(0.0, 4.0, n_markets)
    u_sim = rng.normal(0.0, s_u, n_markets)
    y_sim = b_k * v_sim + u_sim
    p_sim = l_k * y_sim
    gain = b_k * v_sim * (v_sim - p_sim)
    slope = np.cov(v_sim, y_sim)[0, 1] / np.var(y_sim)
    rows[f"sigma_u = {s_u:,.0f}"] = {
        "lambda (regressie v op y)": slope,
        "gemiddelde winst insider": gain.mean(),
        "Var(v | p)": np.var(v_sim - p_sim),
        "t-waarde na 20 dagen": np.sqrt(20) * gain.mean() / gain.std(),
    }
pd.DataFrame(rows).round(5)

traded = ps["traded_liq"].dropna()
window_rows = []
for end in range(120, len(traded) + 1, 12):
    y = traded.iloc[end - 120:end]
    fit = hap.stats.newey_west(y, factors4.reindex(y.index), lags=6)
    alpha_ann, se_ann = 1200 * fit.params["const"], 1200 * fit.bse["const"]
    window_rows.append({"venster eindigt": f"{y.index[-1]:%Y-%m}", "alpha (% p.j.)": alpha_ann,
                        "ondergrens 95%": alpha_ann - 1.96 * se_ann, "bovengrens 95%": alpha_ann + 1.96 * se_ann})
windows = pd.DataFrame(window_rows).set_index("venster eindigt")

full_fit = hap.stats.newey_west(traded, factors4.reindex(traded.index), lags=6)
resid_vol_ann = np.sqrt(12) * full_fit.resid.std()
years_needed = (2 * resid_vol_ann / 0.03) ** 2
print(f"fractie vensters met ondergrens > 0: {(windows['ondergrens 95%'] > 0).mean():.0%}")
print(f"residuele volatiliteit: {resid_vol_ann:.1%} per jaar; jaren nodig voor t = 2 bij alpha = 3%: {years_needed:.0f}")
windows.iloc[::5].round(2)

fractie vensters met ondergrens > 0: 20%
residuele volatiliteit: 12.6% per jaar; jaren nodig voor t = 2 bij alpha = 3%: 71