Parametrische portefeuilles en idiosyncratisch risico

1Overzicht¶

Hoe zet een belegger een handvol slecht gemeten feiten om in portefeuillegewichten? Hij schat niet de verwachte rendementen van duizenden aandelen, maar een paar coëfficiënten die de gewichten rechtstreeks aan kenmerken en voorspellers koppelen. Dat dempt de schattingsfout van Markowitz, al kan zo’n regel niet zien of de premie van gisteren morgen nog bestaat. Welk risico de markt beloont, blijft open, want het resultaat dat de gemiddelde variantie van aandelen het marktrendement voorspelt, bleef later niet overeind. In dit college doen we vier dingen:

• we laten met de hand zien dat een regel die op een voorspeller reageert, een vaste mix van twee rendementsreeksen is;

• we leiden af dat de coëfficiënten met GMM te schatten zijn en dat hun ruis groeit met het aantal kenmerken, niet met het aantal aandelen;

• we simuleren 500 aandelen met kleine premies en vergelijken de regel met 1/N en met Markowitz;

• we repliceren de parametrische portefeuille van Brandt, Santa-Clara en Valkanov op 100 size/BM-portefeuilles, en de regressie van Goyal en Santa-Clara op 49 industrieportefeuilles.

Rond 2000 vroeg de portefeuilletheorie om de verwachte rendementen van alle activa, terwijl de empirie zei dat die rendementen met een paar kenmerken samenhangen. Brandt & Santa-Clara (2006) maakten van een dynamisch probleem een statisch probleem door geschaalde rendementsreeksen als extra activa toe te voegen. Brandt et al. (2009) deden hetzelfde in de cross-sectie, met drie coëfficiënten voor duizenden aandelen. Santa-Clara noemt dat achteraf een poging om portefeuillekeuze te bevrijden van de vloek van de dimensionaliteit Santa-Clara (2026). Het tweede spoor begon toen Goyal & Santa-Clara (2003) vonden dat de gemiddelde variantie van aandelen het marktrendement voorspelt. De marktvariantie deed dat niet, in strijd met Het CAPM, maar ook dat resultaat hield geen stand Bali et al. (2005)Wei & Zhang (2005). Idiosyncratische volatiliteit bleef intussen een raadsel Campbell et al. (2001)Ang et al. (2006)Herskovic et al. (2016). Op de vraag theorie of feit geeft dit college dus feiten als antwoord. De regel gebruikt kenmerken zonder ze te verklaren, en voor de volatiliteitsfeiten zijn er meer theorieën dan data om ze te scheiden.

2Intuïtie: waarom zou dit waar zijn?¶

Denk aan een belegger die gelooft dat kleine, goedkope aandelen met een goed afgelopen jaar beter renderen. Markowitz vraagt hem een verwacht rendement voor elk van duizenden aandelen en een covariantiematrix met een miljoen elementen, en de optimalisator zoekt daarin juist de slechtst geschatte richtingen op. Brandt, Santa-Clara en Valkanov vragen alleen hoeveel hij van de markt wil afwijken per eenheid “klein”, “goedkoop” en “goed jaar”. Dat zijn drie getallen, en omdat hij ze uit alle aandelen tegelijk schat, middelt de bedrijfsspecifieke ruis grotendeels weg.

Afwijken van de markt in verhouding tot een kenmerk komt neer op de markt houden plus een portefeuille die aandelen met een hoog kenmerk koopt en met een laag kenmerk verkoopt. De belegger kiest dus tussen een paar portefeuilles en niet tussen duizenden aandelen. In de tijd werkt het net zo. Wie meer aandelen houdt als de dividendopbrengst hoog is, bezit naast de markt een vaste positie in de markt geschaald met de dividendopbrengst, en die positie is gewoon een activum met een eigen rendementsreeks. Zo wordt het dynamische probleem van Merton een statisch probleem van Markowitz.

De regel helpt tegen schattingsfout, omdat twee aandelen met dezelfde kenmerken hetzelfde gewicht krijgen, wat hun historische gemiddelde ook was. Om dezelfde reden wint 1/N van mean-variance, en de parametrische portefeuille zit tussen die twee in.

Goyal en Santa-Clara vroegen welk risico de markt beloont. Voor een gediversifieerde belegger is dat alleen marktrisico, maar de meeste huishoudens bezitten een handvol aandelen, en voor hen is bedrijfsspecifiek risico gewoon risico. Stijgt de onzekerheid over individuele bedrijven, dan eisen ze misschien een hogere premie op de hele markt.

We verwachten daarom dat de parametrische regel de markt verslaat zodra de steekproef lang genoeg is om de premies te zien. Van schattingsfout zou hij veel minder last moeten hebben dan Markowitz. Als het argument over huishoudens klopt, gaat bovendien een hoge gemiddelde variantie van aandelen vooraf aan een hoog marktrendement, terwijl de marktvariantie weinig zegt.

3Toy-voorbeeld: een voorspeller met twee waarden, drie aandelen met één kenmerk¶

Het voorbeeld heeft twee delen, één in de tijd en één in de cross-sectie, en beide keren blijkt de regel een vaste mix van een paar rendementsreeksen.

3.1(a) Dynamisch wordt statisch¶

Hier stuurt een voorspeller de positie in de tijd. Eén risicovol activum heeft overrendement $r_{t+1}$, en een voorspeller $x_t$ neemt met gelijke kans de waarden -1 (laag) en +1 (hoog) aan. De belegger maximaliseert kwadratisch nut $\E[w_t r_{t+1} - \tfrac{\gamma}{2}(w_t r_{t+1})^2]$ met risicoaversiecoëfficiënt $\gamma = 5$. De tabel bevat alles wat hij nodig heeft, met $s(x) = \E[r_{t+1}^2 \mid x] = \sigma^2 + \mu(x)^2$ het tweede moment.

We hebben één formule nodig, de optimale positie bij kwadratisch nut, $w = \mu/(\gamma s)$, of in matrixvorm $\boldsymbol{\theta} = \gamma^{-1}\E[\tilde{\mathbf{R}}\tilde{\mathbf{R}}']^{-1}\E[\tilde{\mathbf{R}}]$. De theorie leidt die formule straks als eerste af.

1. Per toestand is $w_{\text{laag}} = 0{,}02/(5 \cdot 0{,}0404) = 0{,}09901$ en $w_{\text{hoog}} = 0{,}10/(5 \cdot 0{,}05) = 0{,}40$.

2. Als tweede activum nemen we $x_t r_{t+1}$, een strategie die in de hoge toestand één eenheid koopt en in de lage toestand één eenheid verkoopt. Voor de twee betalingen $\tilde{\mathbf{R}}_{t+1} = (r_{t+1},\, x_t r_{t+1})'$ geldt, omdat $x^2 = 1$,

met $\E[r^2] = \tfrac12(0{,}0404 + 0{,}05)$ en $\E[x r^2] = \tfrac12(0{,}05 - 0{,}0404)$. 3. De determinant is $0{,}0452^2 - 0{,}0048^2 = 0{,}00202$, zodat de vaste mix gelijk is aan

4. De regel die daarbij hoort, is $w_t = \theta_0 + \theta_1 x_t$, dus $0{,}24950 - 0{,}15050 = 0{,}09901$ in de lage en $0{,}24950 + 0{,}15050 = 0{,}40$ in de hoge toestand.

5. Het verwachte nut is met de voorspeller $\sum_x \tfrac12\,\mu(x)^2/(2\gamma s(x)) = \tfrac12(0{,}00099 + 0{,}02) = 0{,}010495$. Zonder voorspeller is de beste vaste positie $\E[r]/(\gamma\E[r^2]) = 0{,}2655$, met verwacht nut $\E[r]^2/(2\gamma\E[r^2]) = 0{,}0036/0{,}452 = 0{,}007965$.

De cel rekent dezelfde stappen na en zet hand en code naast elkaar.

Code en hand geven dezelfde getallen. Een vaste mix van twee rendementsreeksen doet dus precies wat de belegger doet die per toestand opnieuw optimaliseert, en ongeveer een kwart van zijn verwachte nut komt van de voorspeller.

3.2(b) Een parametrische regel met drie aandelen¶

Drie aandelen hebben marktgewichten $\bar w_i$ en één kenmerk, het momentum van het afgelopen jaar. Over de cross-sectie is het gemiddelde momentum 5% en de standaarddeviatie 15%, zodat het gestandaardiseerde kenmerk $\hat x_i$ de waarden -1, 0 en 1 krijgt. De regel van Brandt, Santa-Clara en Valkanov tilt elk marktgewicht op in verhouding tot het kenmerk,

1. Omdat de $\hat x_i$ optellen tot nul, tellen de gewichten altijd op tot één. Bij $\theta = 0$ zijn ze $(0{,}5;\ 0{,}3;\ 0{,}2)$, bij $\theta = 1{,}5$ zijn ze $(0;\ 0{,}3;\ 0{,}7)$.

2. In periode 1 rendeert de portefeuille bij $\theta = 0$ precies $0{,}5(-0{,}03) + 0{,}3(0{,}01) + 0{,}2(0{,}06) = 0$ en bij $\theta = 1{,}5$ precies $0{,}3(0{,}01) + 0{,}7(0{,}06) = 4{,}5\%$.

3. Met CRRA-nut $u(R) = R^{1-\gamma}/(1-\gamma)$ en $\gamma = 5$, het nut dat Brandt, Santa-Clara en Valkanov zelf gebruiken, is het gerealiseerde nut $u(1{,}000) = -0{,}25$ en $u(1{,}045) = -1/(4 \cdot 1{,}19252) = -0{,}20964$.

4. Het portefeuillerendement is $\bar R + \theta\, r^{x}$, met $r^{x} = \tfrac13(0{,}03 + 0 + 0{,}06) = 3\%$ het rendement van een kenmerkportefeuille die aandeel 3 koopt en aandeel 1 verkoopt. Bij één periode stijgt het nut daarom met elke extra eenheid $\theta$ zolang $r^x > 0$, al blijft het onder nul, zodat één periode geen optimum oplevert.

5. In periode 2 is $\bar R = 1{,}3\%$ en $r^x = -3\%$. Het gemiddelde nut $\tfrac12[u(1 + 0{,}03\theta) + u(1{,}013 - 0{,}03\theta)]$ is maximaal waar de twee brutorendementen gelijk zijn, bij $\theta^{\ast} = 0{,}013/0{,}06 = 0{,}2167$.

De cel berekent de gewichten, het nut en het optimum over twee perioden.

Ook hier geven code en hand dezelfde getallen. Omdat de kenmerkportefeuille in de ene periode wint en in de andere verliest, kiest de belegger een kleine positieve $\theta^{\ast} = 0{,}2167$. Het gewicht op aandeel 3 stijgt daardoor met $\theta^{\ast}/3$, ruim zeven procentpunt, en dat op aandeel 1 zakt evenveel.

4Theorie¶

De theorie volgt twee sporen. Het eerste laat zien dat een conditionele portefeuilleregel een statische keuze is tussen managed portfolios, rendementsreeksen die met een signaal zijn geschaald, eerst in de tijd en dan in de cross-sectie. Daaruit volgt waarom de regel de schattingsfout van Markowitz indamt, want zijn ruis groeit met het aantal kenmerken $K$ en niet met het aantal aandelen $N$. Het tweede spoor splitst de gemiddelde variantie van aandelen in een markt- en een afwijkingsdeel en formuleert zo de toets van Goyal en Santa-Clara.

4.1Brandt en Santa-Clara: een conditionele regel als vaste mix¶

Een belegger die zijn positie lineair aanpast aan wat hij ziet, verdient elke periode een vaste combinatie van producten van signaal en rendement. Zo’n product is een rendementsreeks met schatbare momenten, net als een aandeel. Een vaste mix van vaste reeksen kiezen is precies het probleem van Markowitz, en zolang de regel elke toestand apart kan behandelen, kost die omweg de belegger niets.

Stel dat er $N$ risicovolle activa zijn met overrendementen $\mathbf{r}_{t+1}$. Daarnaast zijn er $K$ conditioneringsvariabelen $\mathbf{x}_t$ die op $t$ bekend zijn, met een constante als eerste element en bijvoorbeeld de dividendopbrengst als tweede. Een lineaire regel is $\mathbf{w}_t = \boldsymbol{\Theta}\mathbf{x}_t$, met $\boldsymbol{\Theta}$ een $N \times K$-matrix van coëfficiënten. Het rendement van de portefeuille is dan

Het rendement van de regel is dus een vaste combinatie van $NK$ managed portfolios $\tilde{\mathbf{R}}_{t+1} = \mathbf{x}_t \otimes \mathbf{r}_{t+1}$, waarin activum $i$ met variabele $k$ is geschaald. Brandt & Santa-Clara (2006) werken met een mean-variance-benadering van het nut. Wij nemen kwadratisch nut in het tweede moment, omdat de gelijkwaardigheid dan exact is.

Het bewijs werkt, omdat een indicator voor de toestand het statische probleem opknipt in $K$ losse problemen, één per toestand. Een inverteerbare transformatie $\mathbf{A}$ van die indicatoren verandert de bereikbare rendementen niet. In het toy-voorbeeld is $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$, zodat $\theta_0 = 0{,}24950$ het gemiddelde en $\theta_1 = 0{,}15050$ het halve verschil van de twee conditionele posities is.

Vergelijking (5) is de coëfficiënt van een regressie van de constante 1 op $\tilde{\mathbf{R}}_{t+1}$ zonder intercept Britten-Jones (1999), zodat een gewone regressie de gewichten al oplevert. Gratis is de truc toch niet, want met $N$ activa en $K$ variabelen is het statische probleem een Markowitz-probleem in $NK$ activa, met alle schattingsfout van dien.

4.2Brandt, Santa-Clara en Valkanov: de cross-sectie in drie parameters¶

In de cross-sectie verschilt de conditioneringsvariabele niet tussen perioden maar tussen aandelen, en dan volstaan $K$ coëfficiënten voor duizenden aandelen. Verschillen verwachte rendementen alleen via kenmerken, dan hangt ook de optimale afwijking van de markt alleen van die kenmerken af. Neemt de belegger die afwijking lineair, met dezelfde coëfficiënten voor elk aandeel, dan heeft het probleem evenveel onbekenden als er kenmerken zijn.

Op elk tijdstip $t$ zijn er $N_t$ aandelen, in het artikel gemiddeld 3.680 per maand Brandt et al. (2009), met marktgewichten $\bar w_{i,t}$ als benchmark. Elk aandeel heeft $K$ kenmerken, bijvoorbeeld de log marktwaarde, en die worden per maand over de cross-sectie gestandaardiseerd tot gemiddelde nul en standaarddeviatie één, $\hat{\mathbf{x}}_{i,t}$. De regel is

De deling door $N_t$ houdt de totale afwijking van de markt gelijk als het aantal aandelen groeit, en door de standaardisatie blijft $\boldsymbol{\theta}$ over de tijd vergelijkbaar. Omdat $\sum_i \hat{\mathbf{x}}_{i,t} = \mathbf{0}$, tellen de gewichten op tot één, en het portefeuillerendement is

Hier is $\bar R_{t+1}$ het brutorendement van de markt. De vector $\mathbf{r}^{x}_{t+1}$ bevat de rendementen van $K$ kenmerkportefeuilles die niets kosten, omdat ze aandelen met een hoog kenmerk kopen en met een laag kenmerk verkopen. In het toy-voorbeeld was $r^x$ in de eerste periode 3%, en de regel is dus de cross-sectionele versie van (4), een statische keuze tussen de markt en $K$ managed portfolios.

Brandt et al. (2009) schatten $\boldsymbol{\theta}$ met CRRA-nut en $\gamma = 5$, zoals in het toy-voorbeeld. Er komt geen verwacht rendement en geen covariantiematrix aan te pas, en omdat het nut de hele verdeling ziet, tellen ook scheefheid en dikke staarten mee. De schatter maximaliseert het gemiddelde gerealiseerde nut in de steekproef,

De schatter is dus een exact geïdentificeerde GMM-schatter Hansen (1982), en de sandwichformule (10) levert de standaardfouten die we in de replicatie gebruiken. De voorwaarde (9) heeft bovendien een economische lezing. Met $m_{t+1} \propto u'(R_{p,t+1})$ staat er $\E[m_{t+1}\mathbf{r}^{x}_{t+1}] = 0$, zodat het marginale nut van de belegger zelf de $K$ kenmerkportefeuilles een prijs van nul geeft. Dat is de waarderingsvergelijking $p = \E[mx]$ uit Cochrane: p = E[mx], toegepast op betalingen die niets kosten.

4.3Wat het voorspelt: ruis van orde $K$ in plaats van $N$¶

De parametrische regel schat $K$ getallen, elk voor een portefeuille die over alle aandelen middelt. Markowitz laat daarentegen $N$ slecht geschatte gemiddelden door $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ uitvergroten. Twee berekeningen maken dat verschil concreet. Laat het overrendement van aandeel $i$ gelijk zijn aan $R^{e}_{i,t+1} = \beta_i f_{t+1} + \boldsymbol{\lambda}'\hat{\mathbf{x}}_{i,t} + \varepsilon_{i,t+1}$, met marktfactor $f$, premies $\boldsymbol{\lambda}$ per eenheid kenmerk en onafhankelijke idiosyncratische ruis met variantie $\sigma_\varepsilon^2$. Dan is

De laatste term heeft variantie $\sigma_\varepsilon^2/N$ per kenmerk. Bij ruis van 12% per maand en 500 aandelen, zoals in de simulatie, is de standaarddeviatie van die term $12/\sqrt{500} \approx 0{,}54\%$ per maand in plaats van 12%. Het gemiddelde van een kenmerkportefeuille is dus veel beter te schatten dan dat van één aandeel. Ook de opwaartse vertekening van de Sharpe-ratio in de steekproef groeit met $K/T$ in plaats van de $N/T$ uit Markowitz, Roy en Tobin Jobson & Korkie (1980), omdat de optimalisator maar $K$ richtingen heeft om ruis in te vinden. Bij duizend aandelen en drie kenmerken scheelt dat een factor van ruim driehonderd.

De schatter wordt dus stabieler naarmate hij over meer aandelen middelt, al betaalt de belegger daarvoor met de aanname dat alleen lineaire verschillen in $\hat{\mathbf{x}}$ tellen. Of de regel de markt ook verslaat, hangt af van de premies $\boldsymbol{\lambda}$ ten opzichte van de resterende ruis. In de simulatie staat 0,03% per maand tegen 0,54%, en daar blijkt hoe lang de belegger moet wachten.

Met mean-variance in plaats van CRRA-nut wordt het verband met Markowitz exact. Maximaliseren we $\E[R_p] - \tfrac{\gamma}{2}\Var(R_p)$, dan is

De regel vraagt dus naar $K$ kenmerkportefeuilles zoals Markowitz naar activa vraagt, plus een hedgeterm voor de benchmark. De matrix die de regel inverteert, is maar $K\times K$ en bevat rendementen waaruit de ruis grotendeels is weggemiddeld, terwijl Markowitz de $N\times N$-matrix van Markowitz, Roy en Tobin inverteert. Stijgt $\gamma$, dan krimpt de speculatieve term $\boldsymbol{\mu}_x/\gamma$ en blijft de belegger dichter bij de markt. Oefening 2 leidt de formule af.

De afleiding negeert short-beperkingen en kosten, en daarom krijgt de regel in de praktijk twee aanpassingen. De lineaire regel kan negatieve gewichten geven, vooral voor kleine aandelen met een klein marktgewicht, en een long-only-versie kapt die af en normaliseert:

Omdat het doel met afgekapte gewichten niet meer glad is, schatten we $\boldsymbol{\theta}$ dan met een zoekmethode zonder afgeleiden. Transactiekosten komen in het doel als $c\sum_i |w_{i,t+1} - w^{\mathrm{drift}}_{i,t}|$, met $w^{\mathrm{drift}}$ het gewicht na de koersbeweging. Met de kosten in het doel kiest de schatter van Brandt et al. (2009) vanzelf een regel met minder omzet. Hij maximaliseert dan het certainty equivalent na kosten, het zekere rendement dat de belegger even hoog waardeert als de strategie.

4.4Goyal en Santa-Clara: welk risico voorspelt de markt?¶

Goyal en Santa-Clara toetsen of de gemiddelde variantie van individuele aandelen het marktrendement voorspelt, naast of in plaats van de marktvariantie. Volgens het CAPM zou alleen de marktvariantie dat doen, maar voor de onvolledig gespreide huishoudens uit de intuïtie telt juist het bedrijfsspecifieke risico.

De variantie van aandeel $i$ in maand $t$ meten we met dagrendementen, $\hat\sigma^2_{i,t} = \sum_{d \in t} R_{i,d}^2$, en voor de markt op dezelfde manier. De toets van Goyal & Santa-Clara (2003) is

met $R^{e}_{m,t+1}$ het overrendement van de markt en $V_t$ de gelijkgewogen gemiddelde variantie van de aandelen. Volgens de hypothese is $b$ positief en $c$ hooguit klein. Dat $V_t$ grotendeels idiosyncratisch is, volgt uit een identiteit.

De gemiddelde variantie van aandelen is dus de marktvariantie plus de gemiddelde variantie van hun afwijkingen van de markt. Alleen die tweede term kan idiosyncratisch zijn. Campbell et al. (2001) gebruikten deze decompositie en vonden dat de bedrijfsspecifieke component tussen 1962 en 1997 meer dan verdubbelde, en veel sterker steeg dan de markt- en de industriecomponent. Voor individuele aandelen domineert de tweede term, want Goyal en Santa-Clara schatten in een gestileerde kalibratie dat idiosyncratisch risico bijna 85% van de gemiddelde aandeelvariantie is.

Voor de replicatie is een gevolg van belang. Vervangen we aandelen door portefeuilles van elk $n$ aandelen met idiosyncratische variantie $s^2$, dan bevat de afwijking $R_p - R_m$ nog maar $s^2/n$ aan idiosyncratische variantie, zodat een replicatie met portefeuilles vooral marktvariantie meet. Over het oorspronkelijke resultaat vond de latere literatuur drie dingen:

• Bali et al. (2005) lieten zien dat het vooral uit kleine Nasdaq-aandelen kwam en verdween als de steekproef tot eind 2001 liep, en Wei & Zhang (2005) dat het op de jaren negentig rustte;

• Ang et al. (2006) vonden in de cross-sectie het omgekeerde van een premie, want aandelen met hoge idiosyncratische volatiliteit renderen zeer slecht, met een verschil in FF3-alpha van −1,31% per maand tussen het hoogste en het laagste kwintiel;

• Herskovic et al. (2016) vonden een sterke gemeenschappelijke factor in idiosyncratische volatiliteit die met het inkomensrisico van huishoudens samenhangt, en aandelen met de laagste bèta op die factor verdienen 5,4% per jaar meer dan die met de hoogste.

5Simulatie: drie parameters tegen vijfhonderd gemiddelden¶

Hoe lang moet de steekproef zijn voordat drie kleine premies de parametrische regel van 1/N laten winnen? En hoe slecht doet Markowitz het met 500 geschatte gemiddelden? We simuleren een wereld met 500 aandelen en drie kenmerken, size, value en momentum, die per aandeel een AR(1) volgen en in de cross-sectie standaardnormaal zijn. Het overrendement is

De premies zijn klein, want één standaarddeviatie in een kenmerk is 0,36% per jaar waard tegen 42% idiosyncratische volatiliteit per jaar. Een belegger schat op $T$ maanden en belegt daarna met 1/N, dat in deze wereld de rol van de markt speelt, met de parametrische regel of met mean-variance op de 500 steekproefgemiddelden.

Omdat de steekproefcovariantie bij $T < N$ niet inverteerbaar is, gebruikt Markowitz een geschat éénfactormodel, $\boldsymbol{\Sigma} = v_f\mathbf{b}\mathbf{b}' + \mathrm{diag}(\mathbf{s}^2)$, met de factorvariantie $v_f$, de bèta’s $\mathbf{b}$ en de restvarianties $\mathbf{s}^2$. De inverse van zo’n matrix staat met de Woodbury-formule in gesloten vorm op papier, zodat de cel geen $N\times N$-matrix hoeft te inverteren. De cel zet het model op en simuleert 80 werelden voor vensters van 120 en 240 maanden.

De tweede cel voegt vensters van 360 en 600 maanden toe. Per venster staan in de tabel de mediaan van Sharpe-ratio (SR) en certainty equivalent (CE), de kans dat de regel 1/N verslaat en de spreiding van $\hat\theta$ voor size.

Mean-variance op 500 gemiddelden is kansloos. De mediane Sharpe-ratio blijft tussen 0,09 en 0,15, en het certainty equivalent zakt ver onder nul, omdat de CRRA-belegger in vrijwel elke wereld ergens zijn vermogen verliest. Dat is het probleem van Markowitz, Roy en Tobin op grote schaal, met $N/T$ tussen 0,8 en 4.

De figuur toont links hoe ver de parametrische regel van 1/N wegloopt, en rechts hoe de verdeling van $\hat\theta$ voor size smaller wordt als het venster groeit.

De parametrische regel wint niet vanzelf. Bij tien jaar data verslaat hij 1/N in iets meer dan de helft van de werelden, en zijn certainty equivalent is lager. De standaarddeviatie van $\hat\theta_{\text{size}}$ is dan nog 3,7, en bij vijftig jaar is die gezakt tot 1,7 en verslaat de regel 1/N in beide maten. De regel verslaat de markt van deze wereld dus, zoals de intuïtie verwachtte, maar pas bij een steekproef die langer is dan de meeste beleggers hebben.

6Replicatie op echte data¶

De eerste cel laadt beide sets portefeuilles en zet ze om in een paneel met gestandaardiseerde kenmerken, marktgewichten en het rendement van de maand erna.

De functie characteristic_panel standaardiseert elk kenmerk per maand over de portefeuilles die in die maand bestaan, zoals (6) vraagt. Omdat niet elke size/BM-combinatie elke maand aandelen bevat, zijn gemiddeld 98 van de 100 size/BM-portefeuilles per maand bruikbaar, en de 25 size-momentumportefeuilles zijn altijd compleet. Daarna schatten we $\theta$ op 1964–2002, met standaardfouten uit (10).

De tekens zijn die van het artikel. Size ligt dicht bij de gepubliceerde waarde, momentum ongeveer een halve standaardfout erboven en B/M 1,6 standaardfout erboven. Size is na 39 jaar data met $t = -1{,}8$ niet op 5% significant, wat de simulatie al liet verwachten, en op de size-momentumportefeuilles verdwijnt size terwijl momentum blijft.

Vervolgens evalueren we de regel, de long-only-versie en de benchmark over 1974–2002, de periode waarover het artikel rapporteert.

De regel haalt in de steekproef bijna drie keer de Sharpe-ratio van de benchmark. De positie is wel extreem, met gemiddeld 180% van het vermogen short en een omzet van negen keer het vermogen per jaar. Die omzet komt uit de momentumterm, omdat het momentum van een portefeuille elke maand verschuift terwijl size en B/M nauwelijks bewegen.

De long-only-versie haalt het grootste deel van de omzet weg. De schatting van die versie uit de print is $(2{,}38;\ 19{,}24;\ 5{,}31)$ en lijkt niet op die van de lineaire regel, want size wisselt van teken en B/M is bijna vier keer zo groot. Toch liggen Sharpe-ratio en certainty equivalent dicht bij het artikel, omdat afkappen en normaliseren de schaal van $\theta$ niet meer vastleggen.

Buiten de steekproef herschatten we $\theta$ elk januari op alle data vanaf 1964 en beleggen we het jaar erna met die schatting. De cel toont de schattingen in vijf jaren.

Tot 2003 houden de drie coëfficiënten hun teken en blijft size ongeveer gelijk, terwijl B/M eerst stijgt en momentum wat zakt. Daarna kruipt size naar nul en zakt B/M. De volgende cel vat de prestaties buiten de steekproef samen, apart voor 1974–2002 en voor de jaren na het artikel.

Over 1974–2002 verslaat de regel ook buiten de steekproef de benchmark ruim, op beide sets portefeuilles, maar na 2002 blijft hij overal achter. Links in de figuur is de knik bij 2003 in de lijn van de regel te zien, rechts de lijn van size, die daarna naar nul kruipt.

De tabel zet over 1974–2002 de belangrijkste getallen uit tabel 1 en 3 van het artikel naast die uit de cellen hierboven.

Gedeeltelijk geslaagd. De tekens en de orde van grootte van $\hat\theta$ kloppen, en ook verslaat de regel de benchmark in en buiten de steekproef over 1974–2002. De posities en vooral de omzet wijken af, omdat portefeuilles andere kenmerken hebben dan aandelen.

Na 2002, buiten elke steekproef die het artikel kon zien, verslaat de benchmark juist de regel, en dat geldt ook voor de long-only-versie en de size-momentumregel. Het certainty equivalent van de regel zakt het diepst, omdat hij veel meer volatiliteit neemt voor een iets hoger overrendement. Met een standaardfout van ongeveer 0,21 is geen van die verschillen van nul te onderscheiden, maar de richting is overal dezelfde, zodat het verwachte kleine voordeel een klein nadeel werd.

6.1Gemiddelde variantie en het marktrendement¶

We berekenen de maandvariantie uit gekwadrateerde dagrendementen en schatten de drie regressies uit het artikel over drie perioden.

In geen van de drie perioden is een helling significant, en over de hele steekproef en over 2000–2025 blijven alle $t$-waarden in absolute waarde onder één. De volgende cel meet hoeveel van $V_t$ uit de afwijkingsterm komt en hoe persistent $\log V_t$ is.

De afwijkingsterm is over 1963–1999 gemiddeld 59% van $V_t$, en $\log V_t$ heeft een autocorrelatie van 0,74 met schokken die negatief met het marktrendement samenhangen. De figuur laat zien hoe dicht de drie reeksen bij elkaar liggen.

De tabel zet de regressies over 1963–1999 naast die uit tabel II van het artikel, met de helling en tussen haakjes de $t$-waarde. In de laatste regel komt het idiosyncratische deel bij Goyal en Santa-Clara uit een kalibratie en bij ons uit de afwijkingsterm.

Niet geslaagd, en dat hadden we vooraf ook verwacht. Met industrieportefeuilles is van het resultaat niets over, al hebben de hellingen in de gezamenlijke regressie wel de tekens uit het artikel. Dat bewijst weinig in beide richtingen, want het ging Goyal en Santa-Clara om bedrijfsspecifieke variantie, en die hebben wij grotendeels weggemiddeld. De replicatie laat wel zien dat de gemiddelde variantie van industrieën het marktrendement niet voorspelt, en oefening 4 laat zien hoe gemakkelijk dezelfde data met overlappende horizonnen toch “significant” worden.

7Wat er brak, en wat daarna kwam¶

Wat het model verklaart. De parametrische regel is geen evenwichtstheorie maar een beslisregel, en juist daarin slaagt hij waar Markowitz faalde. Hij zet een handvol feiten om in gewichten zonder dat de schattingsfout van duizenden gemiddelden de portefeuille overneemt. Op honderd portefeuilles gaf hij de tekens en de orde van grootte van de coëfficiënten uit het artikel, en tot 2002 ook buiten de steekproef een ruime voorsprong op de markt. Santa-Clara vindt de regel dichter bij wat kwantitatieve vermogensbeheerders werkelijk doen dan enig model uit de literatuur Santa-Clara (2026).

Waar het breekt. Een parametrische regel is zo goed als de premies die hij uitbuit, en die zijn slecht gemeten en niet stabiel. Na 2002 blijft de regel op beide sets portefeuilles achter bij de benchmark. Het tweede spoor brak harder, want het resultaat van Goyal en Santa-Clara hield in latere steekproeven geen stand, en op onze industriedata is er zelfs in hun eigen periode niets van te zien.

Risico of vergissing? Beide feiten laten beide lezingen toe. In de Chicago-lezing belonen size, value en momentum risico’s die het CAPM mist, en is de krimp na 2002 pech of een lagere prijs van risico. In de Yale-lezing meten de kenmerken vergissingen, en kochten arbitrageurs de premie na publicatie weg. Bij idiosyncratische volatiliteit eisen onvolledig gediversifieerde huishoudens een premie, of worden volatiele aandelen als loten overgewaardeerd. Scheiden kan alleen door te meten of de rendementen samenhangen met het marginale nut in slechte tijden, en dat lukt met portefeuilledata niet. Zo blijft open of een belegger met zo’n regel risico met een premie draagt, of alleen denkt iets te weten wat de prijs niet weet.

Wat er daarna kwam. In 2008 bleek dat de hefboom waarmee zulke strategieën worden uitgevoerd, van intermediairs komt. Hun balans is zelf een factor met een risicopremie, en dat is het onderwerp van 2008 en intermediary asset pricing.

8Oefeningen¶

mu_weak = np.array([0.02, 0.06])
s_weak = 0.04 + mu_weak**2
w_weak = mu_weak / (gamma * s_weak)
theta_weak = np.linalg.solve((payoff.T * (prob * s_weak)) @ payoff, (prob * mu_weak) @ payoff) / gamma
pd.DataFrame({"met de hand": [0.09901, 0.27523, 0.18712, 0.08811], "code": [*w_weak, *theta_weak]},
             index=["w laag", "w hoog", "theta0", "theta1"]).round(5)

Sigma_x = np.cov(rx_in, rowvar=False)
cov_bench = np.array([np.cov(rx_in[:, k], rbar_in)[0, 1] for k in range(rx_in.shape[1])])
theta_mv = np.linalg.solve(Sigma_x, rx_in.mean(axis=0) / GAMMA - cov_bench)
pd.DataFrame({"CRRA": theta_in, "mean-variance": theta_mv}, index=size_bm["names"]).round(3)

def turnover_series(W, r):
    grown = W[:-1] * (1 + r[:-1])
    return np.r_[0.0, np.abs(W[1:] - grown / grown.sum(axis=1, keepdims=True)).sum(axis=1)]

def net_of_costs(panel, theta, cost):
    W = weights(panel, theta)
    gross = 1 + (W * panel["r"]).sum(axis=1)
    bench = 1 + (panel["wbar"] * panel["r"]).sum(axis=1)
    return (gross - cost * turnover_series(W, panel["r"]),
            bench - cost * turnover_series(panel["wbar"], panel["r"]))

oos_panel = subset(size_bm, "1974-01", "2100-12")
theta_oos_path = oos_bm["theta"].reindex(oos_panel["date"].year).to_numpy()
W_oos = oos_panel["wbar"] + np.einsum("tnk,tk->tn", oos_panel["X"], theta_oos_path) / oos_panel["n"][:, None]
turn_policy = turnover_series(W_oos, oos_panel["r"])
turn_bench = turnover_series(oos_panel["wbar"], oos_panel["r"])

def oos_sharpe_gap(c):
    """OOS Sharpe ratio of the policy minus that of the benchmark, both net of costs c."""
    net = 1 + (W_oos * oos_panel["r"]).sum(axis=1) - c * turn_policy
    bench = 1 + (oos_panel["wbar"] * oos_panel["r"]).sum(axis=1) - c * turn_bench
    return evaluate(net, oos_panel["rf"])["Sharpe (p.j.)"] - evaluate(bench, oos_panel["rf"])["Sharpe (p.j.)"]

cost_rows = {}
for c in (0.0, 0.0025, 0.005, 0.01):
    gross_in, bench_in = net_of_costs(ins, theta_in, c)
    net_oos = 1 + (W_oos * oos_panel["r"]).sum(axis=1) - c * turnover_series(W_oos, oos_panel["r"])
    cost_rows[f"c = {100 * c:.2f}%"] = {
        "Sharpe in-sample policy": evaluate(gross_in, ins["rf"])["Sharpe (p.j.)"],
        "Sharpe in-sample benchmark": evaluate(bench_in, ins["rf"])["Sharpe (p.j.)"],
        "Sharpe OOS policy": evaluate(net_oos, oos_panel["rf"])["Sharpe (p.j.)"],
        "Sharpe OOS benchmark": evaluate(net_oos, oos_panel["rf"])["Sharpe (p.j.)"] - oos_sharpe_gap(c),
        "CE OOS policy (% p.j.)": evaluate(net_oos, oos_panel["rf"])["CE (% p.j.)"]}
print(f"gem. omzet per maand: policy {turn_policy.mean():.3f}, benchmark {turn_bench.mean():.3f}")
print(f"break-evenkosten out-of-sample: {100 * optimize.brentq(oos_sharpe_gap, 0.0, 0.05):.2f}% per eenheid omzet")
pd.DataFrame(cost_rows).T.round(3)

gem. omzet per maand: policy 0.810, benchmark 0.048
break-evenkosten out-of-sample: 0.79% per eenheid omzet

T_GSC, N_GSC = 437, 5000
PHI_V, SD_V, CORR_RV, MU_M, SD_M = 0.74, 0.50, -0.31, 0.006, 0.045
HORIZONS_GSC = (1, 3, 6, 12)

def simulate_gsc(n_samples, n_months, burn=100):
    """Unpredictable market returns and a persistent log average variance with leverage-type correlation."""
    total = burn + n_months + max(HORIZONS_GSC)
    eps = rng.standard_normal((n_samples, total))
    eta = CORR_RV * eps + np.sqrt(1 - CORR_RV**2) * rng.standard_normal((n_samples, total))
    log_v = signal.lfilter([SD_V], [1, -PHI_V], eta, axis=1)[:, burn:]
    return np.exp(log_v), (MU_M + SD_M * eps)[:, burn:]

def slope_tstats(y, x, lags):
    """Row-wise slope t-values of y on x: OLS and Newey-West with `lags` lags."""  # TODO: naar hap.stats
    xd = x - x.mean(axis=1, keepdims=True)
    sxx = (xd**2).sum(axis=1)
    beta = (xd * y).sum(axis=1) / sxx
    u = y - y.mean(axis=1, keepdims=True) - beta[:, None] * xd
    se_ols = np.sqrt((u**2).sum(axis=1) / (x.shape[1] - 2) / sxx)
    g = xd * u
    s = (g**2).sum(axis=1)
    for j in range(1, lags + 1):
        s += 2 * (1 - j / (lags + 1)) * (g[:, j:] * g[:, :-j]).sum(axis=1)
    return beta / se_ols, beta / (np.sqrt(s) / sxx)

V_sim, r_sim = simulate_gsc(N_GSC, T_GSC)
t_ols, t_nw = {}, {}
for h in HORIZONS_GSC:
    y = np.stack([r_sim[:, t + 1:t + 1 + h].sum(axis=1) for t in range(T_GSC)], axis=1)
    t_ols[h], t_nw[h] = slope_tstats(y, V_sim[:, :T_GSC], lags=h)

reject = pd.DataFrame(
    {"OLS": {h: np.mean(t_ols[h] > 1.96) for h in HORIZONS_GSC},
     "Newey-West (h lags)": {h: np.mean(t_nw[h] > 1.96) for h in HORIZONS_GSC}}
).rename_axis("horizon h (maanden)")
search = np.mean(np.max(np.stack(list(t_ols.values())), axis=0) > 1.96)
print(f"minstens één van de vier OLS-horizonnen 'significant' positief: {search:.1%}")
reject.round(3)

minstens één van de vier OLS-horizonnen 'significant' positief: 25.8%

d = gsc.loc["1963-08":"1999-12"]
r_next = hap_data.market_monthly()["Mkt-RF"]
overlap_rows = {}
for h in HORIZONS_GSC:
    cumulative = r_next.rolling(h).sum().shift(-h).reindex(d.index)
    frame = pd.concat([cumulative.rename("y"), d["V"]], axis=1).dropna()
    t_o, t_n = slope_tstats(frame["y"].to_numpy()[None, :], frame["V"].to_numpy()[None, :], lags=h)
    overlap_rows[h] = {"t OLS": float(t_o[0]), "t Newey-West": float(t_n[0]),
                       "verhouding": float(t_o[0] / t_n[0])}
sim_ratio = {h: np.median(np.abs(t_ols[h]) / np.abs(t_nw[h])) for h in HORIZONS_GSC}
pd.DataFrame(overlap_rows).T.assign(**{"verhouding in simulatie (mediaan)": pd.Series(sim_ratio)}).round(3)