Demand systems en inelastische markten

1Overzicht¶

Hoeveel stijgt de waarde van de aandelenmarkt als beleggers zonder enig nieuws één dollar extra in aandelen stoppen? Volgens Gabaix en Koijen ongeveer vijf dollar, omdat de vraag naar aandelen nauwelijks op de prijs reageert. Dat getal is wel zo moeilijk te meten dat een kwart eeuw data alles tussen twee en acht toelaat, zoals de simulatie in dit college laat zien.

In de standaardtheorie van deze reeks bestaat die vraag niet eens. Daar bepaalt de stochastische discontofactor $m$ (SDF) de prijs, en speelt de hoeveelheid die iemand wil kopen geen rol, omdat arbitrageurs elke prijsafwijking zonder nieuws meteen wegkopen. De vraagcurve voor aandelen is dan vlak. Dit college gaat over het onderzoek dat die vlakke curve mat en verwierp. Het college toetst dus geen theorie, maar volgt een reeks metingen die nog op een verklaring wachten. Het gaat om elasticiteiten, inclusie-effecten en de prijsimpact van flows (geldstromen van beleggers in of uit een markt).

In dit college doen we het volgende.

• In een markt met een mandaatfonds en een actieve belegger rekenen we met de hand uit hoeveel één dollar de prijs opdrijft.

• We leiden de multiplier $M = 1/\zeta$ af en zien waarom standaardmodellen een elasticiteit van tientallen voorspellen.

• We behandelen het vraagsysteem van Koijen en Yogo en granular instrumental variables (instrumenten uit de eigen schokken van grote beleggers).

• We simuleren hoe goed OLS en GIV de elasticiteit meten in steekproeven zo lang als die van Gabaix en Koijen.

• Op echte data regresseren we kwartaalrendementen op de netto aandelenaankopen per sector, en meten we het effect van veertien recente S&P 500-toevoegingen.

In 1986 liet Shleifer zien dat aandelen bij de aankondiging van hun opname in de S&P 500 in koers stegen, terwijl hun kasstromen niet veranderden Shleifer (1986). Koijen en Yogo Koijen & Yogo (2019) schatten per institutionele belegger een vraagsysteem uit de posities die fondsbeheerders elk kwartaal aan de SEC melden. Gabaix en Koijen Gabaix & Koijen (2021) tilden die aanpak naar de hele markt, en met hun artikel werden flows een eigen verklaring voor koersbewegingen, naast discontovoeten en vergissingen. Volgens Santa-Clara hoort de vraag wat de markt beweegt bij de grote open vragen van dit decennium Santa-Clara (2026).

2Intuïtie: waarom zou dit waar zijn?¶

Op 16 november 2020 maakte S&P Dow Jones Indices bekend dat Tesla op 21 december in de S&P 500 zou worden opgenomen. Er was geen nieuws over auto’s, winst of rente. Wel stond vast dat elk indexfonds op die dag Tesla-aandelen zou moeten kopen, ongeacht de prijs. Als de vraagcurve vlak is, maakt dat voor de koers niets uit. Daalt de curve, dan moeten de indexfondsen de prijs opdrijven tot iemand bereid is te verkopen.

Shleifer onderzocht in 1986 precies die situatie. Aandelen die na 1976, toen indexfondsen opkwamen, in de index kwamen, behaalden bij de aankondiging een significant abnormaal rendement van ongeveer 3%, terwijl dat effect daarvoor ontbrak Shleifer (1986). Omdat een inclusie de kasstromen niet verandert, kan de prijs alleen stijgen doordat de vraag groter is dan de markt tegen de oude prijs opvangt. Dat bedoelen onderzoekers met een dalende vraagcurve.

Voor één aandeel is dat nog te begrijpen, want aandelen zonder goed substituut springen bij opname sterker Wurgler & Zhuravskaya (2002). Voor de markt als geheel is er nog minder substituut. Een belegger die aandelen verkoopt aan iemand die geld in de markt stopt, gaat zelf meer obligaties of kas houden. Een pensioenfonds met een mandaat van zestig procent aandelen doet dat niet, en een indexfonds evenmin. Als bijna iedereen aan zo’n mandaat vastzit, moet de prijs ver bewegen voordat de weinige flexibele beleggers willen verkopen.

Gabaix en Koijen maken daar een getal van. Stel dat de totale vraag naar aandelen met één procent daalt als de prijs vijf procent stijgt. De prijselasticiteit van de vraag (de procentuele daling van de gevraagde hoeveelheid per procent prijsstijging) is dan 0,2. Een flow van één procent van de marktwaarde moet de prijs in dat geval vijf procent opdrijven, zodat één dollar erin vijf dollar marktwaarde oplevert. Volgens Gabaix en Koijen voorspellen de meeste modellen een honderd keer kleinere prijsimpact Gabaix & Koijen (2021).

Meten is lastig, en daarvoor zijn twee redenen. Beleggers stoppen geld in aandelen als ze optimistisch zijn, en optimisme duwt ook de prijzen omhoog, zodat samenhang tussen instroom en rendement nog geen oorzaak bewijst. Bovendien is elk gekocht aandeel door iemand verkocht. De prijs beweegt dus niet doordat er gekocht wordt, maar doordat de kopers minder op de prijs reageren dan de verkopers.

We verwachten daarom dat een instroom de prijs meer opdrijft naarmate meer vermogen aan vaste mandaten gebonden is. Een verschuiving naar passief beleggen zou de markt dus gevoeliger maken voor flows. Omdat optimisme prijzen en flows tegelijk beweegt, verwachten we ook dat een gewone regressie de vraag inelastischer laat lijken dan ze is.

3Toy-voorbeeld: een passief fonds, een actieve belegger en één dollar¶

In deze kleine markt rekenen we uit hoeveel één dollar instroom de prijs opdrijft, eerst met een inelastische en daarna met een elastische actieve belegger. Er zijn $S = 100$ aandelen tegen een prijs $P_0 = 1$, en twee beleggers houden ze.

De prijselasticiteit uit de intuïtie heet voor de actieve belegger $\zeta_A$, zodat een prijsstijging van één procent zijn vraag met $\zeta_A$ procent verlaagt. Voor de procentuele prijsstijging $x$ gebruiken we een recept dat de theorie later afleidt, namelijk de extra vraag bij de oude prijs gedeeld door de som over de beleggers van elasticiteit maal positie.

Stap 1, de elasticiteit van het fonds. Stijgt de prijs met één procent, dan groeit het vermogen van het fonds naar 50,4. Volgens het mandaat hoort het dan $0{,}8 \times 50{,}4 = 40{,}32$ in aandelen te houden, terwijl zijn aandelen 40,4 waard zijn. Het verkoopt dus voor 0,08, oftewel 0,2% van zijn positie, en zijn elasticiteit is $1 - \theta = 0{,}2$.

Stap 2, de instroom. Een spaarder stort 1 in het fonds. Bij de oude prijs wil het fonds dan $0{,}8 \times 51 = 40{,}8$ in aandelen, en die extra 0,8 is de flow naar aandelen. Omdat het aanbod vast is, stijgt de prijs tot beide beleggers samen weer 100 aandelen willen, en in eerste orde geeft dat

Stap 3, geval 1 met $\zeta_A = 0{,}2$. De haakjes zijn $8 + 12 = 20$, dus $x = 0{,}8/20 = 4\%$. De marktwaarde stijgt met $0{,}04 \times 100 = 4$. De multiplier telt per dollar vraagverschuiving naar aandelen, niet per dollar in het fonds, en is dus $4/0{,}8 = 5$. De marktelasticiteit is $20/100 = 0{,}2$, en $5 = 1/0{,}2$.

Stap 4, geval 2 met $\zeta_A = 5$. De haakjes zijn $8 + 300 = 308$, dus $x = 0{,}8/308 = 0{,}26\%$, en de multiplier is $0{,}26/0{,}8 = 0{,}32$, gelijk aan $1/3{,}08$. Eén elastische belegger met drie vijfde van de markt maakt de prijsimpact dus vijftien keer kleiner.

Stap 5, een verschuiving naar passief. Blijf in geval 2, maar laat het fonds nu 70 aandelen houden (vermogen 87,5) en de actieve belegger 30. De marktelasticiteit daalt naar $(0{,}2 \times 70 + 5 \times 30)/100 = 1{,}64$. Dezelfde instroom verhoogt de prijs dan met $0{,}8/164 = 0{,}49\%$, een multiplier van 0,61.

De code hieronder rekent de drie gevallen na, zowel in eerste orde als met de exacte evenwichtsprijs, en zet de uitkomsten naast de handberekening.

Code en handberekening geven dezelfde getallen, en het exacte evenwicht (laatste kolom) wijkt nauwelijks af van de eerste-ordebenadering. Voor een multiplier van vijf hoeft dus niet iedereen aan een mandaat vast te zitten, als ook de actieve belegger even inelastisch is als het fonds. Bij de verschuiving naar passief verdubbelt de multiplier bijna zonder dat iemand zijn gedrag verandert. In geval 1 maakt dezelfde verschuiving niets uit, omdat beide beleggers daar even elastisch zijn.

4Theorie¶

De theorie leidt naar één formule en naar de vraag hoe die te meten is. Uit het evenwicht bij een vast aanbod volgt dat de prijs beweegt met de instroom gedeeld door de marktelasticiteit. Daarna zien we waarom een mean-variance-belegger een elasticiteit van tientallen heeft, terwijl Koijen en Yogo er een onder één meten. Tot slot blijkt dat een gewone regressie de elasticiteit niet meet en een granular instrument wel.

4.1Opzet: mandaten, elasticiteiten en evenwicht¶

Waarom zou dit waar zijn? Als bij een vast aanbod één belegger meer aandelen wil, moet een ander er minder willen. Alleen een hogere prijs kan die ander daartoe bewegen. Hoe ver de prijs moet stijgen, hangt af van hoe sterk de rest op de prijs reageert.

We volgen de eenvoudigste vorm van het model van Gabaix & Koijen (2021), in eigen notatie. In afwijking van de setup schrijven we de prijs als $P_t$ en is $p = \Delta \log P$ de procentuele prijsverandering, terwijl andere kleine letters, zoals de flows $f_{i,t}$ en later $c_t$, fracties van een positie of van de marktwaarde zijn en geen logs. Er zijn $N$ beleggers $i$ en een vast aantal aandelen $S$. Belegger $i$ vraagt $Q_i(P_t)$ aandelen ter waarde van $E_i = P_t Q_i$, met marktaandeel $s_i = E_i/\sum_j E_j$. Zijn prijselasticiteit is

Een elasticiteit van 0,2, zoals die van het fonds in het toy-voorbeeld, betekent dat een prijsstijging van 1% de gevraagde hoeveelheid met 0,2% verlaagt. De elasticiteit van de markt is het waardegewogen gemiddelde $\zeta = \sum_i s_i \zeta_i$. Een flow $\Delta F_i$ is de verandering in de dollarvraag van belegger $i$ bij ongewijzigde prijs, bijvoorbeeld de 0,8 uit het toy-voorbeeld.

Het lemma bevestigt stap 1 van het toy-voorbeeld. Een puur aandelenindexfonds ($\theta = 1$) heeft elasticiteit nul, terwijl een 60/40-fonds op 0,4 uitkomt. Gabaix en Koijen laten toe dat fondsen hun aandelenfractie naar het verwachte rendement bijsturen, en toch schatten ze de elasticiteit van instellingen rond 0,2 Gabaix & Koijen (2021).

4.2Het kernresultaat: de flow-multiplier¶

Een instroom verhoogt de prijs met de instroom als fractie van de marktwaarde, gedeeld door de marktelasticiteit. Iedere belegger vermindert zijn vraag als de prijs stijgt, en de prijs stijgt precies zo ver dat die verminderingen samen de instroom opvangen.

Volgens (4) stijgt de prijs meer naarmate de markt minder elastisch is. Bij $\zeta = 0{,}2$ maakt een instroom van 1% van de marktwaarde de aandelen 5% duurder, bij $\zeta = 20$ nog maar 0,05%. In het toy-voorbeeld gaf een instroom van 0,8% bij $\zeta = 0{,}2$ precies $p = 4\%$. Een instroom drijft de prijs dus op, en harder naarmate meer vermogen aan een mandaat vastzit, precies zoals de Tesla-inclusie deed vermoeden.

Voor de replicatie zijn twee kanttekeningen van belang. Netto aankopen tellen over alle beleggers op tot de netto uitgifte, omdat elk gekocht aandeel verkocht is. In het toy-voorbeeld kwam er 1 in het fonds en verschoof de vraag naar aandelen bij de oude prijs met 0,8, terwijl de markt per saldo niets kocht. De prijs beweegt door die 0,8, de verschuiving $\Delta F$, en juist die is niet waarneembaar. Verder kunnen een paar zeer elastische hedgefondsen $\zeta$ groot maken, als ze groot genoeg zijn.

4.3Waarom standaardmodellen een elasticiteit van tientallen geven¶

Een belegger die volgens mean-variance kiest, reageert ongeveer honderd keer sterker op de prijs dan Gabaix en Koijen meten. Stijgt de prijs van een claim op een uitbetaling over een jaar zonder nieuws met één procent, dan daalt het verwachte rendement met ongeveer één procentpunt. Bij een premie van vijf procent is dat een vijfde van de premie. Omdat zijn positie evenredig is met de premie, wil de belegger dan een vijfde minder houden.

In de noemer van (5) staat de premie. Met een premie van vijf procent per jaar en $1 + R^{f} \approx 1$ is $\zeta \approx 1/0{,}05 = 20$, honderd keer de waarde van Gabaix en Koijen. Hoe kleiner de premie, hoe groter de elasticiteit, omdat dezelfde prijsstijging dan een groter deel van de premie wegneemt. De waarde 20 geldt alleen voor een prijsafwijking die binnen het jaar terugloopt, omdat alleen dan de hele stijging uit het rendement van dat ene jaar komt. Een permanente afwijking spreidt het verlies over veel jaren en geeft daardoor een veel lagere elasticiteit.

Ook de prijsformule uit Fama, Shiller en “Discount Rates” geeft een volledig vlakke vraagcurve. De prijs is $P_t = \E_t[m_{t+1} x_{t+1}]$, en bij een representatieve belegger hangt $m_{t+1}$ af van consumptie, niet van wie welk aandeel houdt. Een model waarin flows prijzen bewegen, laat de SDF dus afhangen van de posities van specifieke beleggers, of laat hun verwachtingen met hun flows meebewegen. Dat laatste is de dichtheid $\xi$ uit Proposition 1, die objectieve in subjectieve verwachtingen omzet.

4.4Het vraagsysteem van Koijen en Yogo¶

Koijen en Yogo meten elasticiteiten per belegger door aan te nemen dat elke belegger zijn portefeuille kiest op kenmerken van aandelen, zoals grootte en bèta, plus een eigen voorkeur. De gewichten zijn dan per belegger uit zijn posities te schatten. De gevoeligheid van een gewicht voor de eigen marktwaarde van het aandeel is de helling van de vraagcurve van die belegger.

Koijen & Yogo (2019) gebruiken de kwartaalposities van instellingen die meer dan $100 miljoen beheren en daarom hun posities elk kwartaal moeten melden. Belegger $i$ heeft vermogen $A_i$ en kiest uit een universum van aandelen $n$. Alles daarbuiten, zoals kas, heet het buitenactivum 0, en het gewicht van aandeel $n$ ten opzichte daarvan is

met $\mathrm{me}(n)$ de log-marktwaarde, $x_k(n)$ kenmerken zoals de boekwaarde-marktwaardeverhouding, en $\varepsilon_i(n) \ge 0$ de latente vraag (latent demand). Die latente vraag is de voorkeur die de kenmerken niet verklaren. De vergelijking heeft de vorm van een logit, waarin de gewichten met het buitenactivum optellen tot één.

Met $\beta_{0,i} = 1$ belegt iemand als een indexfonds, met elasticiteit nul bij een klein gewicht. Met $\beta_{0,i} = 0$ houdt hij een vast dollarbedrag, met elasticiteit één. Een elasticiteit van twintig vraagt een sterk negatieve $\beta_{0,i}$, en die vinden de schattingen niet. Met dit systeem vinden Koijen et al. (2024) elasticiteiten die daar ver onder blijven, want zelfs hedgefondsen, de meest elastische instellingen, komen gewogen naar vermogen uit op ongeveer een half. Het gaat bovendien om de korte termijn, en volgens Beck (2026) is de prijsimpact op lange termijn kleiner.

De latente vraag is zelf een vraagschok, en daarin zit het identificatieprobleem. Een hogere vraag drijft $\mathrm{me}(n)$ op, zodat een gewone schatting van $\beta_{0,i}$ naar boven vertekend is en de vraag inelastischer lijkt dan ze is. Koijen en Yogo instrumenteren daarom met de universa van andere beleggers. Het instrument is de marktwaarde die een aandeel zou hebben als die anderen gelijkgewogen binnen hun universum zouden beleggen. Dat werkt zolang hun universa niet samenhangen met de latente vraag van belegger $i$.

Veranderingen in de latente vraag verklaren bij hen het grootste deel van de variantie van rendementen tussen aandelen, veranderingen aan de aanbodkant maar een klein deel Koijen & Yogo (2019). De meeste koersbewegingen van individuele aandelen zijn dus vraagverschuivingen die geen kenmerk uit de factor zoo verklaart.

4.5Granular instrumental variables¶

Voor de hele markt bestaat geen instrument uit universa, maar de markt bestaat wel uit een paar zeer grote spelers, en hun eigen schokken kunnen als instrument dienen. Verkoopt één groot pensioenfonds na een herzien mandaat, dan komt die verkoop niet uit het sentiment en beweegt ze toch de prijs. Het verschil tussen de groottegewogen en de gelijkgewogen flow isoleert zulke schokken, omdat een gemeenschappelijke schok in beide gemiddelden even groot is.

Gabaix & Koijen (2024) formaliseren dat idee. In de eenvoudigste versie heeft sector $i$, bijvoorbeeld de pensioenfondsen, marktaandeel $S_i$ met $\sum_i S_i = 1$. Zijn flow in procenten van zijn positie is

met $\eta_t$ een gemeenschappelijke vraagschok (sentiment, macronieuws) en $u_{i,t}$ idiosyncratische schokken met variantie $\sigma_u^2$, onafhankelijk over $i$ en van $\eta_t$. Het aanbod is vast, zodat $\sum_i S_i f_{i,t} = 0$. We schrijven $f_{E,t} = \tfrac1N \sum_i f_{i,t}$ voor de gelijkgewogen flow, en $u_{E,t}$ en $u_{S,t} = \sum_i S_i u_{i,t}$ voor de gelijkgewogen en groottegewogen schok. De Herfindahl-index $H = \sum_i S_i^2$ is $1/N$ bij even grote sectoren en groeit naarmate een paar sectoren domineren.

Als iedereen tegelijk optimistisch wordt, stijgt de prijs, maar koopt per saldo niemand extra, omdat het aanbod vast is. De gemeten flow is volgens stap 1 van het bewijs $f_{E,t} = u_{E,t} - u_{S,t}$, zonder de gemeenschappelijke schok, zodat een regressie een prijsbeweging zonder bijbehorende flow ziet, en dus vraag die nauwelijks op de prijs reageert. Volgens (9) gaat de OLS-schatter daarom naar nul als zulke gemeenschappelijke schokken domineren ($\sigma_\eta^2 \gg \sigma_u^2$). Neem $\sigma_\eta = \sigma_u = 1\%$, twintig sectoren met Zipf-groottes ($H - 1/N = 0{,}073$) en $\zeta = 0{,}2$. De kansgrens is dan 0,013, een schijnbare multiplier van bijna 80 terwijl de ware 5 is. Een gewone regressie laat de vraag dus te inelastisch lijken, zoals verwacht, maar met een factor van ruim vijftien.

Het instrument werkt dankzij het vaste aanbod. Omdat de groottegewogen flow altijd nul is, geldt $z_t = -f_{E,t}$, en volgens stap 1 van het bewijs blijven daarin alleen idiosyncratische schokken over. GIV haalt zijn kracht uit $H - 1/N$, de mate waarin de markt granular is (gedomineerd door een paar grote spelers), en bij even grote sectoren is het instrument nul. Omdat sectoren in de praktijk verschillend op gemeenschappelijke schokken reageren, halen Gabaix en Koijen die reacties eerst met hoofdcomponenten uit de flows. Op de Flow of Funds van 1993 tot 2018 vinden ze zo, afhankelijk van de specificatie, multipliers tussen 3 en 8 Gabaix & Koijen (2021).

4.6Wat een lage elasticiteit verandert¶

Een lage elasticiteit maakt koersen beweeglijk en voorspelbaar, en geeft passief beleggen en inkoop van eigen aandelen een koerseffect. Zolang flows traag terugdraaien, draaien ook de prijsafwijkingen traag terug. De prijs-dividendverhouding voorspelt dan rendementen zonder dat iemand een hogere premie eist.

Excess volatility. Vanaf hier is $\ell_{t+1}$ het log rendement. We schrijven de log-prijs als fundamentele waarde plus opgebouwde vraagdruk, $\log P_t = v_t + c_t/\zeta$, met $c_t$ de cumulatieve netto flow in procenten van de marktwaarde. Als $c_t$ een stationair AR(1)-proces is met persistentie $\phi$, onafhankelijk van $v_t$, dan geldt

De eerste term is de volatiliteit die Shiller gerechtvaardigd noemde. De tweede is de excess volatility uit Shiller en LeRoy-Porter: excess volatility, en die groeit met $1/\zeta^2$. Zijn dividenden evenredig aan de fundamentele waarde, dan is de log prijs-dividendverhouding $c_t/\zeta$ plus een constante, en voorspelt ze rendementen met helling $-(1-\phi)$. Zo ontstaat de voorspelbaarheid van Cochrane, en een onderzoeker die alleen prijzen en dividenden ziet, noemt die een tijdvariërende discontovoet, net als in Fama, Shiller en “Discount Rates”.

Een eeuw kwartaaldata uit een economie waarin flows prijzen maken

We simuleren (10) per kwartaal, honderd jaar lang, in 2000 steekproeven per elasticiteit. De fundamentele waarde groeit met 1,5% per kwartaal bij een volatiliteit van 3,5%. De flows krijgen elk kwartaal twee onafhankelijke schokken van 0,8% van de marktwaarde, van spaarders en uit sentiment. Ze doven uit met $\phi = 0{,}95$ per kwartaal, een halfwaardetijd van ruim drie jaar. Een onderzoeker die niets van flows weet, toetst of de prijs-dividendverhouding rendementen voorspelt.

SD_V, MU_V, SD_FLOW, SD_SENTIMENT, PHI_FLOW = 0.035, 0.015, 0.008, 0.008, 0.95
ZETAS = [0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 20.0]


def simulate_flow_economy(n, T, zeta):
    """Quarterly log returns ell = dv + dc / zeta with AR(1) cumulative flows c (fractions of market value).

    Returns returns (n, T), fundamental news dv (n, T) and the log price-dividend ratio minus its
    constant, c / zeta, observed at the start of each quarter (n, T).
    """
    dv = rng.normal(MU_V, SD_V, (n, T))
    shocks = rng.normal(0.0, SD_FLOW, (n, T)) + rng.normal(0.0, SD_SENTIMENT, (n, T))
    c = np.empty((n, T + 1))
    c[:, 0] = rng.normal(0.0, np.hypot(SD_FLOW, SD_SENTIMENT) / np.sqrt(1 - PHI_FLOW**2), n)
    for t in range(T):
        c[:, t + 1] = PHI_FLOW * c[:, t] + shocks[:, t]
    return dv + np.diff(c, axis=1) / zeta, dv, c[:, :-1] / zeta


def naive_researcher(r, dv, pd_ratio):
    """Row-wise statistics: annualised volatility, sigma(r)/sigma(dv), R2 of r on dv, PD slope and t-value."""
    rd, dvd = r - r.mean(1, keepdims=True), dv - dv.mean(1, keepdims=True)
    x = pd_ratio - pd_ratio.mean(1, keepdims=True)
    slope = (x * rd).sum(1) / (x**2).sum(1)
    resid = rd - slope[:, None] * x
    t_value = slope / np.sqrt((resid**2).sum(1) / (r.shape[1] - 2) / (x**2).sum(1))
    r2_news = (rd * dvd).sum(1) ** 2 / ((rd**2).sum(1) * (dvd**2).sum(1))
    return {"vol": 2 * r.std(1), "ratio": r.std(1) / dv.std(1), "r2": r2_news,
            "slope": slope, "t": t_value}


var_dc = 2 * (SD_FLOW**2 + SD_SENTIMENT**2) / (1 + PHI_FLOW)
flow_sim = {zeta: naive_researcher(*simulate_flow_economy(2000, 400, zeta)) for zeta in ZETAS}
pd.DataFrame({
    zeta: {"vol. theorie (%/jr)": 200 * np.sqrt(SD_V**2 + var_dc / zeta**2),
           "vol. mediaan (%/jr)": 100 * np.median(s["vol"]),
           "vol. 5e-95e pct": f"{100 * np.percentile(s['vol'], 5):.1f}-{100 * np.percentile(s['vol'], 95):.1f}",
           "sigma(r)/sigma(dv)": np.median(s["ratio"]), "R2 op nieuws": np.median(s["r2"]),
           "PD-helling (mediaan)": np.median(s["slope"]), "P(t < -2)": np.mean(s["t"] < -2)}
    for zeta, s in flow_sim.items()
}).T.rename_axis("zeta").round(3)

Loading...

In de tabel stijgt de volatiliteit zoals de formule zegt, van 7,0% per jaar bij $\zeta = 5$ naar 13,4% bij $\zeta = 0{,}2$. Bij die lage elasticiteit is het rendement 1,9 keer zo beweeglijk als het nieuws, en voorspelt de prijs-dividendverhouding in 93% van de steekproeven significant. De simulatie geeft zo excess volatility en voorspelbaarheid tegelijk, zonder dat iemand zijn discontovoet verandert. In de figuur staat links de volatiliteit tegen de multiplier $1/\zeta$, en schuiven rechts de histogrammen van de $t$-waarde naar links naarmate $\zeta$ daalt.

Source

inverse = 1 / np.array(ZETAS)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.2))
vol = np.array([np.percentile(flow_sim[z]["vol"], [5, 50, 95]) for z in ZETAS])
grid_inv = np.linspace(0, 10.5, 200)
axes[0].fill_between(inverse, 100 * vol[:, 0], 100 * vol[:, 2], alpha=0.3, label="5e-95e percentiel")
axes[0].plot(inverse, 100 * vol[:, 1], "o", color=hap.plotting.COLORS[0], label="mediaan over steekproeven")
axes[0].plot(grid_inv, 200 * np.sqrt(SD_V**2 + var_dc * grid_inv**2), color="black", lw=1,
             label="theorie")
axes[0].set_title("Prijsvolatiliteit schaalt met $1/\\zeta$")
axes[0].set_xlabel("Inverse elasticiteit $1/\\zeta$ (= multiplier $M$)")
axes[0].set_ylabel("Volatiliteit van het rendement (% per jaar)")
axes[0].legend()
for i, z in enumerate([0.1, 0.2, 1.0]):
    axes[1].hist(flow_sim[z]["t"], bins=np.linspace(-7, 3, 51), histtype="step", lw=1.6,
                 color=hap.plotting.COLORS[i], label=f"$\\zeta$ = {z:g}")
axes[1].axvline(-2, color="black", lw=0.8, ls="--")
axes[1].set_title("Voorspelt de P/D-ratio rendementen? (100 jaar)")
axes[1].set_xlabel("$t$-waarde van de helling van $\\ell_{t+1}$ op de log P/D-ratio")
axes[1].set_ylabel("Aantal steekproeven")
axes[1].legend()
plt.show()

De ware helling is overal $-(1-\phi) = -0{,}05$ per kwartaal, maar bij $\zeta = 1$ vindt maar 18% van de steekproeven ze. Net als bij de standaardfout van 2% is het effect er altijd, maar wordt het pas meetbaar als flows een groot deel van de variantie dragen. De volatiliteit meet bovendien $\Var(\Delta c)/\zeta^2$ en niet $\zeta$ zelf, zodat ze de elasticiteit niet identificeert.

Passief beleggen. Met een aandeel $s_P$ van indexfondsen met elasticiteit nul en een actieve rest met elasticiteit $\zeta_A$ is $\zeta = (1 - s_P)\zeta_A$. Een verschuiving naar passief verlaagt de marktelasticiteit dus mechanisch, zoals in stap 5 van het toy-voorbeeld. Eind 2019 bezaten indexfondsen al evenveel van de Amerikaanse beurs als actieve fondsen Investment Company Institute (2020), zoals we in De industrie als financier: indexfondsen, DFA, AQR zagen. Actieve beleggers kunnen daarop agressiever gaan handelen, maar volgens Haddad et al. (2025) compenseren ze maar twee derde van het effect. De groei van passief maakte de vraag naar individuele aandelen zo in twintig jaar 11 procent inelastischer.

Inkoop van eigen aandelen. Een onderneming die voor $\Delta F$ eigen aandelen inkoopt, werkt in (4) als een instroom van $\Delta F$, zolang de verkopers de opbrengst niet herbeleggen. De prijs per aandeel stijgt dan met $\Delta F/(\zeta E)$, en de marktwaarde verandert met ongeveer $(1/\zeta - 1)\Delta F$. Bij oneindige elasticiteit daalt de marktwaarde met de uitbetaling, zoals bij Miller en Modigliani Miller & Modigliani (1961), maar bij $\zeta = 0{,}2$ stijgt ze met $4\Delta F$.

De tegenhanger. Het klassieke tegenargument staat in Fama en de efficiënte markt en bij Grossman & Stiglitz (1980). Als flows prijzen van hun fundamentele waarde wegduwen, loont het om geïnformeerd tegen die flows in te handelen, en juist die handelaren maken de vraag elastisch. Een lage elasticiteit vraagt dus een verklaring waarom zo weinig kapitaal die rol speelt. Kandidaten zijn de limits of arbitrage uit Behavioral finance en limits of arbitrage, de kapitaalbeperkingen van intermediairs uit 2008 en intermediary asset pricing en mandaten die ook professionals binden. De elasticiteit is daarmee geen natuurconstante maar een uitkomst van het evenwicht.

5Simulatie: de elasticiteit meten met OLS en GIV¶

Hoe dicht komen OLS en GIV bij de ware elasticiteit in een steekproef zo lang als die van Gabaix en Koijen? We simuleren (8) met $\zeta = 0{,}2$, de waarde uit het toy-voorbeeld, en dus met een ware multiplier van 5. Beide soorten schokken hebben een standaarddeviatie van 1% per kwartaal. De sectoren zijn verdeeld volgens Zipf ($S_i \propto 1/i$) of, ter vergelijking, bijna even groot ($S_i \propto i^{-0{,}1}$). We variëren het aantal sectoren $N$ en het aantal kwartalen $T$, waarvan 104 de steekproef van Gabaix en Koijen is.

In de tabel ligt de mediaan van OLS bij elke $T$ en $N$ op de kansgrens uit (9), ongeveer 0,013 met Zipf-groottes en 0,0001 met bijna gelijke sectoren. Meer data helpt dus niet, omdat het om een vertekening gaat en niet om ruis. GIV heeft met Zipf-groottes een mediaan van 0,20 zodra $T \ge 104$, en het aantal sectoren maakt weinig uit, omdat $H - 1/N$ steeds ongeveer even groot is. Met bijna gelijke sectoren is het instrument zwak. De mediaan zakt dan naar 0,01 tot 0,07, en de multiplier valt in hoogstens een op de vijf steekproeven tussen 3 en 8.

Links in de figuur is de afstand tussen de histogrammen van OLS en GIV de vertekening, en rechts wordt de verdeling van de multiplier smaller naarmate $T$ groeit.

Met 104 kwartalen ligt het 90%-interval van $\hat\zeta^{\mathrm{GIV}}$ tussen 0,12 en 0,51, een multiplier tussen ongeveer 2 en 8, en dat is ongeveer de spreiding van 3 tot 8 over de specificaties van Gabaix en Koijen. Hun vijf dollar is dus het midden van een breed interval, dat pas met 400 kwartalen krimpt tot 0,15 à 0,29.

6Replicatie op echte data¶

6.1Netto aankopen en rendementen in de Financial Accounts¶

We lezen de netto aankopen per sector in als fractie van de marktwaarde, en tellen beleggingsfondsen en ETF’s op tot één reeks fondsaankopen.

De steekproef telt 298 kwartalen, en de eerste ETF-aankopen vallen in 1993. Huishoudens zijn in deze cijfers grotendeels de sluitpost, zodat hun reeks de meetfouten van de andere sectoren erft. Daarna regresseren we het kwartaalrendement van de markt op elke reeks afzonderlijk, met Newey-West-standaardfouten.

De fondsaankopen hebben de duidelijkste positieve helling, en ook de beleggingsfondsen afzonderlijk zijn significant. Pensioenfondsen en verzekeraars hebben een negatieve, niet significante helling, wat past bij herbalanceren tegen de markt in. De aankopen van alle sectoren samen, de totale netto uitgifte, verklaren niets ($t = 1{,}0$). Links in de figuur staat de puntenwolk met de stippellijn van helling 5 ernaast, en rechts volgen de netto aankopen per sector in de tijd, zodat te zien is welke sectoren kopen als andere verkopen.

Links is de OLS-lijn steiler dan de lijn met helling 5, maar de punten liggen er breed omheen. Rechts nemen de fondsen vanaf de jaren negentig de rol van koper over van de pensioenfondsen, die tot de jaren tachtig kochten en daarna per saldo verkopen. Sinds de jaren tachtig kopen ook ondernemingen per saldo eigen aandelen in, terwijl huishoudens meestal verkopen. De tabel zet onze hellingen naast de schattingen van Gabaix en Koijen.

Gedeeltelijk geslaagd. Het teken is positief, zoals we vooraf verwachtten, maar de helling hangt af van de periode, van 7,3 over alle jaren tot 16,4 over die van Gabaix en Koijen. Een OLS-helling van 7 of 16 is bovendien geen multiplier, omdat fondsflows ook op het rendement zelf reageren, zoals oefening 3 laat zien.

6.2Veertien S&P 500-toevoegingen¶

De gepubliceerde inclusie-effecten zijn in de loop van de tijd gekrompen, zoals de gemiddelden in de tabel laten zien, al meet elke studie over een ander venster.

Het effect groeit tot in de jaren negentig en verdwijnt daarna bijna. De decenniagetallen van Greenwood en Sammon komen uit hun NBER-werkversie (w30748, 2022), en de gepubliceerde versie noemt 7,4% voor de jaren negentig. Chang, Hong en Liskovich vergelijken aandelen vlak boven en vlak onder de grens tussen de Russell 1000 en de Russell 2000, waar veel meer indexgeld volgt. Die regression discontinuity (een vergelijking rond een grens) is de schoonste meting van een vraagcurve die we hebben.

Nu berekenen we het abnormale rendement, het rendement min dat van de markt, voor de veertien aandelen uit De event study die tussen 2012 en 2024 werden toegevoegd.

Tesla springt eruit met 51% van aankondiging tot opname, over 23 handelsdagen. Daarom vatten we de drie vensters samen over alle veertien aandelen en over de dertien zonder Tesla.

Op de eerste handelsdag na de aankondiging is het abnormale rendement gemiddeld 3,1%, en zonder Tesla loopt het in de twintig dagen na opname deels terug, al is die daling niet significant. De tabel zet het rendement van aankondiging tot opname naast de gepubliceerde getallen.

Geslaagd wat het teken en het ontbreken van een groot effect betreft, maar een multiplier levert deze proef niet op. Het aankondigingsrendement is positief, en zonder Tesla ligt het rendement tot opname op één standaardfout van nul, dichter bij Greenwood en Sammon dan bij Petajisto. Met veertien gebeurtenissen is de standaardfout wel zo groot als het effect dat de literatuur zoekt. Dat het effect verdween terwijl het indexgeld sterk groeide Greenwood & Sammon (2025), is zelf een puzzel voor de hypothese van inelastische markten.

7Wat er brak, en wat daarna kwam¶

Wat het model verklaart. Eén parameter, de elasticiteit van de vraag, verbindt feiten die elk een eigen verklaring hadden. Inclusies verhogen prijzen zonder nieuws, van Shleifers eerste metingen tot de regression discontinuity van Chang, Hong en Liskovich. Flows op een inelastische markt maken excess volatility en voorspelbaarheid tegelijk, zonder dat iemand zijn discontovoet verandert. Ook passief beleggen en inkoop van eigen aandelen krijgen een prijseffect dat de standaardtheorie niet kent.

Waar het breekt. Het model breekt op de meting. Een gewone regressie laat de vraag extreem inelastisch lijken, en zelfs GIV geeft met een kwart eeuw kwartaaldata een multiplier die ergens tussen 2 en 8 ligt. Onze OLS-helling op fondsflows ligt tussen 7 en 16, maar is geen multiplier, omdat flows ook op rendementen reageren. Het schoonste natuurlijke experiment wijst bovendien de verkeerde kant op. Het inclusie-effect verdween terwijl het indexgeld groeide, en onze toevoegingen zonder Tesla geven 2,2% met een even grote standaardfout.

Risico of vergissing? In de Chicago-lezing is een flow een verandering in iemands risicobereidheid of verwachtingen, dus een discontovoetschok onder een andere naam. De multiplier meet dan hoe schaars risicodragend kapitaal is, zoals bij de intermediairs van 2008 en intermediary asset pricing, en mandaten zijn een rationele institutionele keuze. In de Yale-lezing bewegen prijzen om redenen buiten de fundamentele waarde, en zijn inelastische markten de limits of arbitrage van Behavioral finance en limits of arbitrage op de schaal van de hele markt. Posities en flows van de beleggers die de prijs zetten, met instrumenten voor hun eigen schokken, zouden de lezingen kunnen scheiden. Die gegevens bestaan echter alleen voor instellingen. Voor een belegger die tegen een flow in koopt, blijft dus open of hij een risicopremie verdient of iets denkt te weten wat de prijs niet weet.

Wat er daarna kwam. Als flows het niveau van de markt zetten en indexfondsen niet op informatie handelen, wie maakt prijzen dan nog informatief? Santa-Clara vermoedt dat machines de markt als geheel niet efficiënter maken, omdat dat niveau wordt gezet door flows op een inelastische markt Santa-Clara (2026). Wat taalmodellen dan wel met prijzen doen, onderzoekt LLM’s, advies en efficiëntie.

8Oefeningen¶

def passive_market(s_passive, zeta_active):
    """Aggregate elasticity and multiplier with zero-elasticity index funds."""
    zeta = (1 - s_passive) * zeta_active
    return zeta, 1 / zeta


print("s_P = 0.2:", passive_market(0.2, 1.0), " s_P = 0.5:", passive_market(0.5, 1.0))
zeta_after = passive_market(0.2, 1.0)[0] - (1 / 3) * (passive_market(0.2, 1.0)[0] - passive_market(0.5, 1.0)[0])
zeta_active_new = zeta_after / 0.5
print(f"met strategische reactie: zeta_A = {zeta_active_new:.2f}, M = {1 / zeta_after:.3f}")
for zeta in (zeta_after, 20.0):
    print(f"zeta = {zeta:5.2f}: prijs per aandeel +{1 / zeta:.3f}%, marktwaarde {1 / zeta - 1:+.3f}% van de marktwaarde")

s_P = 0.2: (0.8, 1.25)  s_P = 0.5: (0.5, 2.0)
met strategische reactie: zeta_A = 1.40, M = 1.429
zeta =  0.70: prijs per aandeel +1.429%, marktwaarde +0.429% van de marktwaarde
zeta = 20.00: prijs per aandeel +0.050%, marktwaarde -0.950% van de marktwaarde

sizes_20 = 1 / np.arange(1, 21)
sizes_20 /= sizes_20.sum()
excess_h = (sizes_20**2).sum() - 1 / 20
rows_se = {}
for sd_idio in (0.005, 0.01, 0.02):
    se_formula = 0.2 * np.sqrt(0.01**2 + sd_idio**2 / 20) / (sd_idio * np.sqrt(excess_h * 104))
    _, iv_draws, _ = simulate_giv(4000, 104, 20, sd_idio=sd_idio)
    q25, q75 = np.percentile(iv_draws, [25, 75])
    rows_se[sd_idio] = {"SE formule (T=104)": se_formula, "IQR/1.349 simulatie": (q75 - q25) / 1.349,
                        "T voor SE = 0.05": int(np.ceil(104 * (se_formula / 0.05) ** 2))}
pd.DataFrame(rows_se).T.rename_axis("sigma_u").round(3)

lead_lag = panel[["rendement", "fondsen"]].assign(
    rendement_vorig=panel["rendement"].shift(1), fondsen_vorig=panel["fondsen"].shift(1))
specs_ll = {"fondsen op rendement vorig kwartaal": ("fondsen", ["rendement_vorig"]),
            "rendement op fondsen vorig kwartaal": ("rendement", ["fondsen_vorig"]),
            "rendement op fondsen + fondsen vorig": ("rendement", ["fondsen", "fondsen_vorig"])}
rows_ll = {}
for label, (y, xs) in specs_ll.items():
    fit = hap.newey_west(lead_lag[y], lead_lag[xs], lags=4)
    rows_ll[label] = {**{f"b({x})": fit.params[x] for x in xs}, **{f"t({x})": fit.tvalues[x] for x in xs},
                      "R2": fit.rsquared, "N": int(fit.nobs)}
pd.DataFrame(rows_ll).T.round(3)