Wat we niet weten

1Overzicht¶

Santa-Clara sluit zijn terugblik af met een tweede lijst Santa-Clara (2026). Hij introduceert haar zo: “The second list is the honest one, and it is the reason the field is still worth working in.” Het zijn dertien vragen, van de omvang van de equity premium tot de vraag welke bedrijven kunstmatige intelligentie zal vervangen. De lijst is het spiegelbeeld van die in Wat we weten. Daar stonden feiten waarover iedereen het eens is. Hier staan feiten die evenmin ter discussie staan, maar waarvoor twee of meer verklaringen concurreren die met de beschikbare data niet te scheiden zijn.

Dat is de epistemische eindtoestand van de reeks (motief 3). Het vak begon met een theorie die getoetst werd, het CAPM, en eindigt met een lijst feiten die op een verklaring wachten. Santa-Clara vat het samen als een vak dat “very good at establishing facts and very bad at agreeing on their meaning” is.

Per vraag geven we (a) de vraag, in Santa-Clara’s woorden; (b) de concurrerende verklaringen, zonder te kiezen (motief 2); (c) één compacte demonstratie op de gecachte data, met de aanpak van de lecture waar het onderwerp werd behandeld; en (d) welke data of welk experiment de verklaringen zou scheiden, en waarom we die niet hebben. Voor de equity premium, risico of vergissing in de cross-sectie en de verzwakking van anomalieën rekent de simulatie uit hoeveel jaar data een beslissende toets vraagt.

2Intuïtie: waarom zou dit waar zijn?¶

Er zijn drie redenen waarom een vraag in dit vak open blijft, en elke vraag op de lijst struikelt over minstens één ervan.

De eerste is dat een prijs twee dingen tegelijk samenvat: hoe waarschijnlijk beleggers een toestand vinden, en hoeveel een euro in die toestand voor hen waard is. Een aandeel kan goedkoop zijn omdat het slecht betaalt wanneer een euro veel waard is (risico), of omdat beleggers de kans op die slechte toestand overschatten (vergissing). Prijzen en rendementen tonen het product, niet de factoren. Dat is motief 2 in zijn kaalste vorm. Scheiden kan pas als een van beide apart gemeten wordt, het marginale nut uit consumptie of de verwachtingen uit enquêtes, en beide metingen zijn slecht.

De tweede is statistisch, motief 1 op zijn scherpst. De toetsen die verklaringen zouden scheiden, gaan over eerste momenten, zeldzame gebeurtenissen of episodes die in clusters komen. Een eeuw data is honderd jaar voor het gemiddelde, zestien recessies en een handvol crashes.

De derde is dat het beslissende experiment niet uit te voeren is. Niemand kan geld willekeurig over fondsen verdelen, publicatie van een anomalie willekeurig uitstellen, of een gebouw dagelijks verhandelen om zijn volatiliteit te meten. Wat niet verhandeld wordt, heeft geen prijs om te toetsen.

3Toy-voorbeeld: twee verklaringen, dezelfde prijzen¶

Er zijn twee toestanden op $t+1$, “goed” en “slecht”, en een econometrist die na een eeuw data weet dat ze elk met kans $\pi = (0{,}5;\ 0{,}5)$ voorkomen. Er zijn twee activa: een obligatie met payoff $(1{,}00;\ 1{,}00)$ en een value-aandeel met payoff $(1{,}30;\ 0{,}80)$.

Verklaring R (risico). Beleggers kennen de kansen en hebben een SDF die hoog is in de slechte toestand, $m = (0{,}85;\ 1{,}05)$. De toestandsprijzen (de prijs vandaag van één euro in één toestand) zijn $q_s = \pi_s m_s$, dus $q = (0{,}425;\ 0{,}525)$. De obligatie kost $0{,}425 + 0{,}525 = 0{,}95$, dus $R^f = 1/0{,}95 = 1{,}0526$. Het value-aandeel kost $0{,}425 \times 1{,}30 + 0{,}525 \times 0{,}80 = 0{,}5525 + 0{,}42 = 0{,}9725$. Het verwachte bruto rendement is $(0{,}5 \times 1{,}30 + 0{,}5 \times 0{,}80)/0{,}9725 = 1{,}05/0{,}9725 = 1{,}0797$, een premie van 2,71 procentpunt, als beloning voor een payoff die laag is wanneer een euro veel waard is.

Verklaring V (vergissing). Beleggers zijn risiconeutraal, $m^\ast = 0{,}95$ in beide toestanden, maar ze overschatten de kans op de slechte toestand. Hun subjectieve kansen $\tilde\pi$ volgen uit dezelfde toestandsprijzen: $\tilde\pi_s = q_s/m^\ast$, dus $\tilde\pi = (0{,}425/0{,}95;\ 0{,}525/0{,}95) = (0{,}4474;\ 0{,}5526)$. De obligatie kost weer $0{,}95$, en het value-aandeel $0{,}95 \times (0{,}4474 \times 1{,}30 + 0{,}5526 \times 0{,}80) = 0{,}95 \times 1{,}0237 = 0{,}9725$.

Beide verklaringen geven dezelfde prijzen. Omdat de econometrist de ware kansen kent, ziet hij in beide werelden hetzelfde verwachte rendement van 7,97% en dezelfde premie van 2,71 procentpunt. In wereld R is de premie een beloning die blijft bestaan. In wereld V is het een fout die verdwijnt zodra beleggers hun kansen bijstellen, en die een arbitrageur met genoeg kapitaal nu al kan oogsten. Geen enkele tijdreeks van prijzen en rendementen uit deze economie kan zeggen in welke wereld we leven.

De code reproduceert de handberekening. Het voorbeeld is het patroon achter bijna elke vraag hieronder. Vervang “value-aandeel” door “de markt” en het is vraag 1, door “een anomalie” en het is vraag 2, door “een industrie na een verdubbeling” en het is vraag 7.

4Theorie¶

4.1Wat prijzen identificeren¶

Waarom zou dit waar zijn? Een prijs is een som over toestanden van payoff maal wat die toestand vandaag kost. Wat een toestand kost, hangt af van hoe waarschijnlijk hij is en van hoeveel een euro daar waard is, maar alleen hun product komt in de prijs. Elke herverdeling tussen die twee die het product ongemoeid laat, is onzichtbaar.

De propositie is de formele kern van motief 2. Ze zegt ook wat de kampen wel zou scheiden: een onafhankelijke meting van $m$ (uit consumptie, zoals in Lucas, Breeden en de SDF), een onafhankelijke meting van $\tilde\pi$ (uit enquêtes, zoals in Fama, Shiller en “Discount Rates”), of een schok aan één kant, zoals een instroom van arbitragekapitaal die een vergissing wel en een risicopremie niet zou wegnemen. Elke “wat zou beslissen” hieronder is een van die drie.

4.2Hoeveel jaar een beslissende toets vraagt¶

Waarom zou dit waar zijn? Stel dat twee verklaringen voorspellingen doen over het gemiddelde van een grootheid die we elk jaar waarnemen: het rendement van value in recessies, of het rendement van anomalieën vóór publicatie. Het verschil tussen de voorspellingen is een vast getal; de ruis in het steekproefgemiddelde krimpt met de wortel van het aantal jaren. Er is dus altijd een steekproef die lang genoeg is. De vraag is of die langer is dan de geschiedenis.

Twee dingen maken de formule onvriendelijk. Het verschil $\Delta$ is klein, omdat beide verklaringen hetzelfde gemiddelde rendement moeten verklaren; alleen een voorwaardelijk gemiddelde of een hoger moment verschilt. En $\bar\sigma^2$ is groter dan de gewone variantie zodra gebeurtenissen in clusters komen: tien recessiemaanden in één episode zijn ongeveer één waarneming. Wat we weten vroeg hoe lang het duurt om een premie te zien; hier gaat het om het duurdere probleem, twee verklaringen van dezelfde premie scheiden.

5Simulatie: hoeveel jaar voor 80% onderscheidingsvermogen¶

Voor elk van de drie vragen kiezen we één paar hypotheses met parameters in de orde van grootte van de data, en simuleren we per steekproeflengte de kracht van een toets met omvang 5%. De kritieke waarden komen uit de simulatie onder de nulhypothese, zodat scheefheid en clustering in de toets zitten.

Vraag 1. Rampen Rietz (1988)Barro (2006) tegenover een lognormaal jaarrendement, zoals in habit en long-run risk (Habit, long-run risk en rampen), met hetzelfde gemiddelde (6%) en dezelfde volatiliteit (20%). Een ramp verlaagt het logrendement met $b$, met Barro’s kans $p = 0{,}017$ per jaar. De toets is eenzijdig, op de scheefheid.

Vraag 2. Als de value-premie een risicopremie is, presteert value slecht in recessies; als ze een vergissing is, niet noodzakelijk. Onder $H_1$ ligt het maandrendement van HML in recessies 1 procentpunt lager, onder $H_0$ niet. Recessies duren gemiddeld 14 maanden, expansies 70 (17% van de maanden recessie, zoals sinds 1926). Elke episode heeft een eigen afwijking met standaardafwijking 1 procentpunt; de maandruis is 3,55%, de volatiliteit van HML.

Vraag 4. Bij arbitrage verdient een anomalie tussen steekproefeinde en publicatie nog haar volle in-sample rendement (0,69% per maand in De factor zoo); bij datamining al het lagere post-publicatierendement (0,30%). We toetsen het gemiddelde in dat tussenvenster voor 1, 10 en 212 signalen, met maandvolatiliteit 3,3% en onderlinge correlatie 0,04, beide gemeten in de replicatie.

Rampen tegen lognormaal. Een ramp van $b = 0{,}5$ maakt de jaarrendementen maar licht scheef: met een eeuw data heeft de toets 25% kracht, voor 80% zijn ongeveer 770 jaar nodig. Bij $b = 0{,}7$ zijn het er ongeveer 190, bij $b = 0{,}3$ is de kracht na 800 jaar 16%. De normale benadering van (2) onderschat de benodigde lengte, omdat de steekproefscheefheid onder rampen zelf een dikke staart heeft. Dit is het peso-probleem (een zeldzame toestand die prijzen stuurt maar in de steekproef nauwelijks voorkomt).

HML in recessies. Zonder clustering zou een recessie-effect van 1 procentpunt per maand na ongeveer 59 jaar met 80% kracht te zien zijn; met episodes die elk hun eigen afwijking hebben, na ongeveer 170 jaar. Zestien recessies zijn zestien waarnemingen.

Arbitrage of datamining. Hier helpt de breedte van de cross-sectie. Over 212 signalen zijn de twee zuivere hypotheses na tweeënhalf jaar te scheiden, binnen het gemiddelde venster van 4,55 jaar; voor één signaal is ongeveer 50 jaar nodig. Het vak kan dus zeggen hoe anomalieën gemiddeld verzwakken, maar niet waarom één bepaalde anomalie verzwakte, en ook niet hoe de twee mechanismen bijdragen als ze tegelijk werken.

6Replicatie op echte data¶

6.11. Waarom de equity premium zo groot is¶

Vraag. “Why the equity premium is as large as it is.”

Verklaringen. Habit Campbell & Cochrane (1999): beleggers worden in slechte tijden veel risicomijdender. Long-run risk Bansal & Yaron (2004): ze vrezen trage veranderingen in de groei. Rampen Rietz (1988)Barro (2006): ze betalen voor verzekering tegen zeldzame catastrofes. En intermediairs He & Krishnamurthy (2013): de marginale belegger is een financiële instelling waarvan het kapitaal in crises opdroogt. Alle vier passen de premie (Mehra-Prescott en Hansen-Jagannathan, Habit, long-run risk en rampen, 2008 en intermediary asset pricing).

Wat de data laten zien. Een premie van 8,8% per jaar (standaardfout 2,0) en een Sharpe-ratio van 0,43, tegenover een consumptiegroei met een standaardafwijking van 2,2%. Via de grens van Hansen & Jagannathan (1991) vraagt dat een risicoaversie van minstens 20. Met de gemeten covariantie, want de correlatie tussen consumptie en rendement is maar 0,12, is het 170. Dat is de puzzel. De scheefheid van de jaarrendementen is $-0{,}95$ (standaardfout 0,24 onder normaliteit), en vijf jaren verloren meer dan een kwart ten opzichte van T-bills. Dat past bij rampen, maar ook bij volatiliteitsclustering en bij de crisisjaren van intermediairs.

Wat zou beslissen. Elk model heeft een eigen handtekening: rampen in de prijs van verzekering (putopties ver uit het geld, Santa-Clara & Yan (2010), Opties en crashrisico), long-run risk in de voorspelbaarheid van consumptiegroei op lange horizon Beeler & Campbell (2012), habit in de relatie tussen risicoaversie en recente consumptie, intermediairs in de balansen van dealers. Rendementen zelf onthullen rampen pas na eeuwen, en optiedata en kwartaalconsumptie beslaan maar enkele decennia.

6.22. Risico of vergissing in de cross-sectie¶

Vraag. “Whether the cross-section reflects risk or mistakes.”

Verklaringen. Fama en French: value, size en de andere premies zijn beloningen voor blootstelling aan risicofactoren Fama & French (1993) (Fama-French 1992/1993). Lakonishok, Shleifer en Vishny: beleggers extrapoleren groei en betalen te veel voor glamouraandelen Lakonishok et al. (1994) (Behavioral finance en limits of arbitrage). Daniel en Titman: niet de bèta maar de karakteristiek voorspelt het rendement Daniel & Titman (1997). Roll maakt de vraag principieel lastig, omdat een factormodel alleen getoetst kan worden tegen een markt die we niet waarnemen Roll (1977) (Roll: de kritiek en de R²).

Wat de data laten zien. Over de hele steekproef verdient HML in recessiemaanden 3,0 procentpunt per jaar minder dan in expansies, met een standaardfout van 4,0 ($t = -0{,}74$). Het teken past bij de risicolezing, de omvang zegt niets. Vóór 1963 is het verschil $-6{,}4$ procentpunt, daarna vrijwel nul, juist in de periode waarop Fama en French hun factoren bouwden.

Wat zou beslissen. Een risicoverklaring voorspelt dat de premie blijft en in slechte tijden wordt verloren, een vergissing dat ze rond winstaankondigingen verschijnt en verdwijnt zodra arbitragekapitaal toestroomt. De eerste toets vraagt volgens de simulatie ongeveer 170 jaar, de tweede een schok aan arbitragekapitaal die niet samenvalt met slechte tijden. En ook een geslaagde toets beslist alleen tussen gespecificeerde modellen: de joint hypothesis van Fama en de efficiënte markt.

6.33. Wat de geaggregeerde markt beweegt¶

Vraag. “What moves the aggregate market.”

Verklaringen. Tijdvariërende discontovoeten: prijzen bewegen omdat verwachte rendementen bewegen Cochrane (2011) (Voorspelbaarheid van rendementen, Fama, Shiller en “Discount Rates”). Sentiment: prijzen bewegen omdat verwachtingen afdwalen Shiller (1981) (Shiller en LeRoy-Porter: excess volatility). Flows in inelastische markten: prijzen bewegen omdat geld in of uit een markt stroomt die weinig elastisch is; volgens Gabaix & Koijen (2021) verhoogt een dollar instroom de marktwaarde met ongeveer vijf dollar (Demand systems en inelastische markten).

Wat de data laten zien. Van de variatie in de log dividend-prijsratio (beginjaren 1926–2010) komt 54% terug als hogere toekomstige rendementen binnen vijftien jaar, 17% als lagere dividendgroei, en 29% zit na vijftien jaar nog in de ratio zelf. Het kwartaalrendement stijgt met de netto aankopen door fondsen en ETF’s, met een helling van 7,3 ($t = 2{,}8$), zoals in Demand systems en inelastische markten. Beide getallen beschrijven dezelfde variatie. De decompositie zegt dat prijzen bewegen omdat verwachte rendementen bewegen, maar niet waarom: een hogere discontovoet (Fama), somberder sentiment (Shiller) en uitstroom uit een inelastische markt (Gabaix en Koijen) voorspellen allemaal dat een lage prijs door hogere rendementen wordt gevolgd. De flowregressie is geen causaal effect, want flows jagen ook rendementen na.

Wat zou beslissen. Een exogene flow: geld dat om redenen buiten verwachtingen en risicobereidheid van eigenaar wisselt, zoals een verplichte herbalancering of een regelwijziging. Gabaix en Koijen bouwen die met granular instrumental variables uit de eigenaardige schokken van grote sectoren; Demand systems en inelastische markten liet zien dat hun multiplier met een kwart eeuw kwartaaldata ergens tussen 2 en 8 kan liggen. Het tweede ontbrekende stuk is een betrouwbare meting van verwachtingen, om sentiment van discontovoeten te scheiden. Enquêtes bestaan, maar hun verband met de verwachtingen in de prijs is omstreden (Fama, Shiller en “Discount Rates”).

6.44. Waarom gepubliceerde anomalieën verzwakken, en hoeveel¶

Vraag. “Why published anomalies decay, and by how much.”

Verklaringen. Arbitrage: publicatie leert beleggers een vergissing kennen, en hun handel haalt haar weg. Datamining: het in-sample rendement was overschat door selectie, en het echte rendement was altijd al lager Harvey et al. (2016). McLean & Pontiff (2016) vonden beide sporen: een daling buiten de steekproef, die bij datamining past, en een grotere daling na publicatie, die bij arbitrage past. Het beleid dat eruit volgt verschilt: bij datamining moet de drempel omhoog, bij arbitrage werkt het vak zoals het moet.

Wat de data laten zien. Gemiddeld over 212 signalen is het rendement in-sample 0,69% per maand, in het tussenvenster 0,41% en na publicatie 0,30%, met standaardfouten van 0,03 tot 0,05. Van de totale daling ligt 71% al vóór publicatie. De twee zuivere hypotheses zijn met deze breedte volgens de simulatie ruim te scheiden, en beide zijn verworpen: de waarheid ligt ertussen. Het vak weet dus hoeveel anomalieën gemiddeld verzwakken, maar niet welk deel van de verzwakking van welk mechanisme komt.

Wat zou beslissen. Het tussenvenster is een slecht experiment. Werkversies circuleren jaren voor publicatie, zodat arbitrage al vóór de publicatiedatum kan beginnen, en het venster is voor een signaal gemiddeld 55 maanden lang, terwijl de simulatie voor één signaal 50 jaar vroeg. Beslissend zou een schok zijn die publicatie loskoppelt van ontdekking: een willekeurige vertraging bij een tijdschrift, of een signaal dat in twee markten tegelijk ontdekt en maar in één gepubliceerd wordt. Of de handelsvolumes en shortposities van arbitrageurs per signaal, en die zijn niet gratis.

6.55. Wat passief beleggen met prijzen doet¶

Vraag. “What passive investing does to prices.”

Verklaringen. Passief beleggen laat de prijsvorming aan de resterende actieve beleggers, en dat is genoeg zolang er een paar zijn (de Grossman-Stiglitz-lezing, LLM’s, advies en efficiëntie). Of passief geld maakt de markt inelastischer, verhoogt de comovement van aandelen in dezelfde index en verlaagt de informatiewaarde van prijzen (Demand systems en inelastische markten, Ben-David et al. (2018)). Het aandeel indexfondsen in de Amerikaanse beurswaarde steeg volgens de ICI van 6% in 2009 naar 15% in 2019 Investment Company Institute (2020) (De industrie als financier: indexfondsen, DFA, AQR).

Wat de data laten zien. De gemiddelde correlatie tussen de dagrendementen van 49 industrieën was 0,46 in 1990–1994, steeg naar 0,68 en 0,70 in de periodes rond de financiële crisis, daalde naar 0,53 in 2015–2019, terwijl het aandeel passief bleef stijgen, en was 0,60 in de coronaperiode. Dat is geen trend die met het passieve aandeel meeloopt, maar een reeks die met de volatiliteit meebeweegt. In Demand systems en inelastische markten daalde ook de marktvolatiliteit in 2010–2019 terwijl passief groeide, en verdween het effect van opname in de S&P 500 van gemiddeld 7,4% in de jaren negentig tot minder dan 1% in het laatste decennium Greenwood & Sammon (2025). Dat laatste is een puzzel voor de inelastische-marktenhypothese: meer indexgeld, kleiner prijseffect.

Wat zou beslissen. Een tijdreeks heeft één passief aandeel en één geschiedenis van crises. Voor individuele aandelen bestaan schokken aan passief eigendom zonder nieuws, zoals de herindeling van de Russell-indices in Demand systems en inelastische markten; voor de geaggregeerde markt bestaat zo’n experiment niet, want er is maar één markt.

6.66. Of machine-learning-alfa’s echt zijn¶

Vraag. “Whether machine-learning alphas are real.”

Verklaringen. Gu et al. (2020) lieten zien dat machine learning rendementen buiten de steekproef beter voorspelt dan lineaire modellen (Machine learning in de cross-sectie). De ene lezing: het model vindt echte, niet-lineaire structuur in beprijsd risico of in vergissingen die blijven bestaan. De andere: het combineert gepubliceerde signalen die na publicatie verzwakken, en het rendement is na kosten en bij grote omvang veel kleiner Novy-Marx & Velikov (2016). Martin & Nagel (2022) voegen toe dat voorspelbaarheid die achteraf zichtbaar is, voor een lerende belegger vooraf niet bruikbaar hoefde te zijn.

Wat de data laten zien. Een gelijkgewogen portefeuille van alle long-short-signalen die op dat moment al gepubliceerd waren, de eenvoudigste “machine” die gepubliceerde kennis combineert, verdiende 5,3% per jaar in de jaren negentig, 5,9% in de jaren 2000 en 3,6% sinds 2010, met een Sharpe-ratio van 1,6 in die laatste periode. Dat is vóór kosten, met gelijkgewogen portefeuilles waarin kleine aandelen zwaar wegen, en zonder rekening te houden met de omvang die een fonds zou verhandelen. Een ML-model dat deze signalen niet-lineair combineert, erft dezelfde vragen.

Wat zou beslissen. Gerealiseerde rendementen van fondsen die zulke modellen op schaal gebruiken, na kosten, over een periode die lang genoeg is. Volgens de redenering van Wat we weten vraagt een strategie met Sharpe-ratio 0,5 na kosten $(2/0{,}5)^2 = 16$ jaar om met $t = 2$ te zien, en de eerste generatie ML-fondsen is jonger. Handelskosten per aandeel en per omvang zijn niet gratis, en fondsen publiceren hun modellen niet.

6.77. Bubbels¶

Vraag. “Bubbles.” Santa-Clara: “The field can describe a bubble after it bursts with great precision and cannot identify one before.”

Verklaringen. Fama: een sterke prijsstijging voorspelt geen laag rendement, dus het woord bubbel voegt niets toe Fama (2014). Shiller: prijzen die ver boven de fundamentele waarde staan, zoals een hoge CAPE, voorspellen lage rendementen op lange termijn Shiller (2000) (Williams en het dividend discount model, Fama, Shiller en “Discount Rates”). Greenwood et al. (2019) vonden, voor Amerikaanse industrieën over 1926–2014, dat Fama gelijk heeft over het gemiddelde toekomstige rendement na een sterke stijging, maar dat zo’n stijging de kans op een crash wel duidelijk verhoogt.

Wat de data laten zien. In 428 gevallen verdubbelde een industrie in twee jaar. In de twee jaar daarna verdiende ze gemiddeld 17,8% (standaardfout 2,3), tegen 27,9% voor een willekeurige industrie-maand, en de kans op een daling van 40% was 13,6%, tegen 9,8%. Beide verschillen gaan de richting van Greenwood, Shleifer en You op. De standaardfouten zijn te klein, omdat run-ups van verschillende industrieën in dezelfde jaren vallen. Belangrijker is de omvang: zelfs na een verdubbeling volgt in zes op de zeven gevallen geen crash. De CAPE staat nu hoger dan in 98,8% van de maanden sinds 1881; alleen eind 1999 lag ze hoger.

Wat zou beslissen. Een bubbel vooraf herkennen vraagt een definitie die niet naar de uitkomst kijkt, en genoeg onafhankelijke episodes. Greenwood, Shleifer en You vonden dat kenmerken van de run-up (volatiliteit, omzet, uitgifte, het prijspad) de crashkans helpen voorspellen (Exercise 1). Wat ontbreekt, zijn de verwachtingen van de kopers per industrie en per episode: zonder die meting is een extrapolerende koper niet te onderscheiden van een koper die bewust risico droeg.

6.88. Wat de kapitaalkosten zijn¶

Vraag. “What the cost of capital is.”

Verklaringen. Santa-Clara wijst erop dat CFO’s voor investeringsbeslissingen nog steeds het CAPM gebruiken, twee decennia nadat empirici concludeerden dat bèta weinig verklaart (Het CAPM); de klassieke enquête naar die praktijk is die van Graham & Harvey (2001). De ene lezing: de praktijk heeft het mis en moet een meerfactormodel gebruiken (Fama-French 1992/1993). Of de toetsen beantwoorden de verkeerde vraag: een kapitaalkostenmodel hoeft geen rendementen te voorspellen, alleen het risico van een project te prijzen, en daarvoor is het CAPM misschien goed genoeg (Cochrane: p = E[mx]). Fama & French (1997) schatten kapitaalkosten per industrie met beide modellen.

Wat de data laten zien. Voor tien industrieën over 1963–2025 geven CAPM en driefactormodel risicopremies die per industrie tot 2,3 procentpunt uiteenlopen: hightech 8,8% (CAPM) tegen 6,5% (FF3), energie 6,1% tegen 8,4%. De standaardfouten alleen door onzekerheid over de factorpremies, met bekende bèta’s, zijn al 1,0 tot 2,5 procentpunt. Het historische gemiddelde heeft standaardfouten van 1,8 tot 3,3. Een CFO die tussen modellen kiest, kiest binnen de ruis. De CFO’s in de enquête verwachten van de markt gemiddeld 5,4% over twaalf maanden en 7,4% per jaar over tien jaar, en dat is geen risicopremie maar een totaal rendement.

Wat zou beslissen. De juiste toets is niet of een model rendementen van aandelen voorspelt, maar of investeringen die met dat model zijn beoordeeld achteraf waarde toevoegden. Daarvoor zijn projectkasstromen per bedrijf nodig, van projecten die wel en niet zijn uitgevoerd, en die worden niet gepubliceerd. En zelfs met die data zou het 2%-motief blijven: kapitaalkosten per industrie zijn eerste momenten met standaardfouten van meerdere procentpunten.

6.99. Hoe je prijst wat niet verhandeld wordt¶

Vraag. “How to price what does not trade.”

Verklaringen. Private equity, venture capital, vastgoed en infrastructuur worden gewaardeerd met taxaties. Een taxateur weegt de nieuwe informatie mee met de vorige taxatie, en dat maakt de gerapporteerde rendementen gladder dan de werkelijke Geltner (1993). Dezelfde smoothing verklaart de autocorrelatie in de rendementen van hedgefondsen die illiquide posities houden Getmansky et al. (2004). De ene lezing: onder de gladde reeks zit een activum met een gewone bèta en volatiliteit, en een premie voor illiquiditeit (Kyle, Glosten-Milgrom en liquiditeit). De andere: de rendementen zijn werkelijk minder beweeglijk, omdat de waarde van een gebouw of een bedrijf niet dagelijks door sentiment wordt heen en weer geschud.

Wat de data laten zien. Een activum met een bèta van 0,61 en een volatiliteit van 11,7% per jaar lijkt na taxatie een bèta van 0,24, een volatiliteit van 5,6% en een Sharpe-ratio van 0,93 te hebben, het dubbele van de ware 0,46. De som van de bèta’s over vier kwartalen herstelt het grootste deel van de bèta (0,48). Unsmoothing met de autocorrelatie als schatting van $a$ (0,53 tegen de ware 0,6) brengt volatiliteit, bèta en Sharpe-ratio een groot deel van de weg terug, maar alleen omdat we wisten dat de ware rendementen niet autocorreleerden.

Wat zou beslissen. Unsmoothing veronderstelt dat de ware rendementen onvoorspelbaar zijn; een activum met werkelijk persistente rendementen en een gesmoothde reeks hebben dezelfde autocorrelatie (Exercise 3). Beslissend zijn transactieprijzen van dezelfde activa, zoals herhaalde verkopen van gebouwen of exits van fondsen, en die zijn zeldzaam, selectief (wat slecht gaat, wordt niet verkocht) en voor private equity niet gratis. Wat Santa-Clara en Kyle, Glosten-Milgrom en liquiditeit de belegger meegaven, blijft: een taxatie is geen verkoopprijs.

6.1010. Wat idiosyncratische volatiliteit ons vertelt¶

Vraag. “What idiosyncratic volatility is telling us.”

Verklaringen. Goyal & Santa-Clara (2003) vonden dat de gemiddelde variantie van aandelen het marktrendement voorspelt: idiosyncratisch risico doet ertoe, bijvoorbeeld omdat beleggers niet gespreid zijn of omdat het een voorbode is van economische herstructurering. Ang et al. (2006) vonden in de cross-sectie het omgekeerde van een premie: aandelen met hoge idiosyncratische volatiliteit presteren slecht, wat eerder op een loterijvoorkeur of een vergissing wijst (Parametrische portefeuilles en idiosyncratisch risico).

Wat de data laten zien. Met de gemiddelde variantie van 49 industrieën, die grotendeels industrie- en marktvariantie is en maar voor een klein deel bedrijfsspecifiek (Parametrische portefeuilles en idiosyncratisch risico), is de helling alleen positief voor 1927–1962 en 2000–2025 en negatief voor 1963–1999, de periode van Goyal en Santa-Clara. Geen enkele helling heeft $|t| > 2$. Samen met de marktvariantie wordt de helling in elke periode positief en de marktvariantie negatief, met $t$ tot 1,97, het patroon van hun tabel. Het teken en de significantie hangen af van de periode, de regressor en de controlevariabele. Dat is precies wat Santa-Clara beschrijft: robuust in sommige steekproeven, omgekeerd in andere.

Wat zou beslissen. Een mechanisme dat iets anders voorspelt dan het rendement. Als idiosyncratische volatiliteit herstructurering meet, moet ze investeringen en werkloosheid in getroffen sectoren voorspellen; als ze onvolledige spreiding meet, moet het effect groter zijn in aandelen die door ongespreide beleggers worden gehouden. Beide toetsen vragen gegevens op aandeel- en beleggersniveau (CRSP en eigendomsdata) over lange periodes, en die hebben we niet gratis.

6.1111. Hoe je menselijk kapitaal prijst¶

Vraag. “How to price human capital, which is the largest asset on earth.”

Verklaringen. Roll (1977) wees erop dat de ware marktportefeuille ook menselijk kapitaal bevat en daarom niet waarneembaar is (Roll: de kritiek en de R²). Jagannathan & Wang (1996) namen groei van arbeidsinkomen op als deel van het marktrendement en verklaarden daarmee meer van de cross-sectie; Lustig & Van Nieuwerburgh (2005) gebruikten de verhouding van huizenvermogen tot menselijk vermogen als voorspeller. Maar welke bèta menselijk kapitaal heeft, hoe die per beroep verschilt, en hoe groot het risico van veroudering van vaardigheden is, is onbekend.

Wat de data laten zien. De Amerikaanse loonsom was in 2025 ongeveer 13 000 miljard dollar per jaar, tegenover een marktwaarde van de aandelen van niet-financiële bedrijven van ongeveer 67 000 miljard. Gekapitaliseerd met een verschil tussen discontovoet en groei van 2 tot 5% is menselijk kapitaal vier tot tien keer zo groot. Die bandbreedte is zelf het 2%-motief: een onzekerheid van een paar procentpunt in $r - g$ is een factor 2,5 in de waarde. De reële loongroei correleert nauwelijks met het aandelenrendement van hetzelfde jaar (0,08, standaardfout 0,12), maar sterk met dat van het vorige jaar (0,53). Aandelen lopen voor op lonen; hoe groot de bèta van menselijk kapitaal is, hangt dus af van de horizon waarop we kijken.

Wat zou beslissen. Arbeidsinkomen per persoon en per beroep over een heel werkleven, gekoppeld aan de rendementen van de sectoren waar die personen werken. Zulke administratieve data zijn niet gratis, en geen dataset beslaat genoeg loopbanen en technologische schokken om veroudering te meten.

6.1212. Welke bedrijven kunstmatige intelligentie zal vervangen¶

Vraag. “Which businesses artificial intelligence will replace.”

Verklaringen. Eisfeldt et al. (2023) vonden dat bedrijven met een personeelsbestand dat blootgesteld is aan generatieve AI na de lancering van ChatGPT in waarde stegen. De ene lezing: de markt prijst AI als kostenbesparing op arbeid. De andere: de markt had het vervangingseffect op de producten van die bedrijven nog niet in de prijs, en dat komt later. Een event study meet het netto effect op één dag en kan de twee niet scheiden (LLM’s, advies en efficiëntie, De event study).

Wat de data laten zien. Het abnormale rendement van acht software- en platformbedrijven min twintig bedrijven met overwegend fysiek werk is over de eerste elf handelsdagen $-0{,}4\%$ (standaardfout 3,7), over een jaar $+25{,}6\%$ (standaardfout 17,6) en tot juli 2026 $+21\%$ (standaardfout 33,7). Op geen enkele horizon is $t > 2$. Hoe langer het venster, hoe meer van het vervangingseffect er in zou kunnen zitten, en hoe groter het effect moet zijn om te zien: 7% na elf dagen, 67% na drieënhalf jaar. Het event-study-gat is dus principieel: het korte venster meet de eerste lezing van de markt, het lange venster meet alles.

Wat zou beslissen. Kasstromen en marktaandelen per product over de jaren waarin AI wordt ingevoerd, met blootstelling per bedrijf aan zowel de kostenkant (taken van werknemers) als de opbrengstkant (producten die een model kan maken). Het vervangingseffect verschijnt pas na jaren in de kasstromen, en tegen die tijd zijn er andere schokken geweest.

6.1313. Waarom de risico’s die het meest uitmaken niet verhandelbaar zijn¶

Vraag. “Why the risks that matter most cannot be traded.”

Verklaringen. Shiller (1993) stelde markten voor in claims op het nationaal inkomen, op huizenprijsindices en op arbeidsinkomen per beroep, waarmee huishoudens hun grootste risico’s zouden kunnen afdekken. Die markten zijn er nauwelijks gekomen. Kandidaat-verklaringen: adverse selectie (wie een contract op zijn eigen loon koopt, weet meer dan de verkoper), het ontbreken van natuurlijke tegenpartijen, basisrisico tussen een index en het eigen huis, en traagheid.

Wat de data laten zien. De reële groei van de Amerikaanse huizenprijsindex heeft over 1978–2025 een standaardafwijking van 3,9% per jaar. Het rendement van de aandelenmarkt van hetzelfde en het vorige jaar verklaart daar 4% van; wat overblijft, is vrijwel even groot. Voor reële loongroei verklaren aandelen 25%, vooral via het vorige jaar. En dat gaat over nationale indices: het risico van één huis in één stad en van één loon in één beroep is veel groter en nog minder verhandelbaar.

Wat zou beslissen. Een experiment waarin zulke contracten worden aangeboden en vraag en prijzen worden gemeten. Futures op de Case-Shiller-huizenprijsindices bestaan, maar zijn nooit een grote markt geworden; of dat aan vraag, tegenpartijen of ontwerp ligt, is uit één kleine markt niet op te maken. Gegevens over markten die niet bestaan, zijn het moeilijkst te verzamelen.

7Wat er brak, en wat daarna kwam¶

7.1De balans in één tabel¶

Wat de reeks verklaart. Negenendertig lectures leverden een lijst stellingen op waarmee een belegger een leven lang goed kan beleggen, en een lijst vragen waarop het vak geen antwoord heeft. De eerste lijst gaat over tweede momenten, identiteiten en mechanismen, de tweede over eerste momenten, zeldzame toestanden en de betekenis van feiten. Dat is geen toeval. Het is de verdeling die het 2%-motief uit Rendementen en hun statistiek voorspelde.

Waar het breekt. Bij het scheiden van verklaringen, niet bij het vaststellen van feiten. De premie, de voorspelbaarheid, de verzwakking van anomalieën, de run-ups en de gladde taxaties staan in de data van deze lecture, met standaardfouten. Wat ontbreekt, is steeds hetzelfde: een onafhankelijke meting van het marginale nut of van verwachtingen (Proposition 1), een steekproef die langer is dan de geschiedenis (Proposition 2), of een experiment dat niet uit te voeren is.

Risico of vergissing? Vraag 1, 2, 3, 7 en 10 zijn motief 2 in zuivere vorm: het toy-voorbeeld liet zien dat prijzen en rendementen alleen het product van kansen en SDF identificeren, zodat een risicoverhaal en een vergissingsverhaal dezelfde data geven. Vraag 4, 5 en 6 gaan over hoe snel vergissingen worden weggehandeld en of er genoeg arbitragekapitaal is; ook daar geven beide kampen een consistent verhaal. Vraag 8, 9, 11, 12 en 13 zijn anders: daar ontbreekt niet de interpretatie maar de prijs zelf. De reeks kiest ook hier niet. De Chicago-lezing en de Yale-lezing zijn het nog altijd eens over de feiten, en in 2013 kregen Fama en Shiller samen de Nobelprijs.

Wat daarna kwam. Er is geen volgende lecture; de reeks eindigt hier. De geschiedenis die in Regnault, Bachelier en de random walk begon met Regnaults wortel-$t$-wet, liep langs de drie motieven uit de inleiding. Het 2%-motief bepaalde wat we konden weten. Risico versus vergissing bepaalde wat we er niet over eens werden. En de weg van theorie-met-tests naar feiten-met-concurrerende-theorieën verklaart waarom het vak na het CAPM, de SDF, machine learning en inelastische markten eindigt met twee lijsten in plaats van één model. Santa-Clara’s praktijkles overbrugt de twee lijsten: “Everything I made that lasted came from bearing risk that was priced. Everything I lost came from thinking I knew something the price did not.” De eerste lijst zegt welk risico beprijsd is. De tweede lijst zegt waarom niemand zeker weet of hij iets weet wat de prijs niet weet. Santa-Clara sluit af met: “What we know is enough to invest well. What we do not know is enough to keep us employed.”

8Oefeningen¶

De drie oefeningen zijn onderzoeksopdrachten: open vragen met een concrete eerste stap. De uitwerking geeft die eerste stap in code en zegt wat een serieus paper daarna zou moeten doen.

market_run = np.expm1(np.log1p(market).rolling(24).sum()).reindex(log_ind.index)
excess_run = run_up.sub(market_run, axis=0)
vol_run = industries.rolling(24).std() * np.sqrt(12)
rows = []
for name in industries.columns:
    last = None
    for date in run_up.index[run_up[name] > 1.0]:
        if (last is None or (date - last).days > 730) and pd.notna(forward.at[date, name]):
            rows.append({"jaar": date.year, "vol": vol_run.at[date, name], "excess run-up": excess_run.at[date, name],
                         "rendement 2 jaar": forward.at[date, name], "crash": float(crash.at[date, name])})
            last = date
ev = pd.DataFrame(rows)
ev["hoge vol"] = ev["vol"] > ev["vol"].median()

summary_1 = ev.groupby("hoge vol")[["crash", "rendement 2 jaar"]].agg(["mean", "sem", "count"])
diff_fit = sm.OLS(ev["crash"], sm.add_constant(ev["hoge vol"].astype(float))).fit(
    cov_type="cluster", cov_kwds={"groups": ev["jaar"]})
print(f"verschil crashkans hoog - laag vol: {diff_fit.params.iloc[1]:.3f}, "
      f"t (geclusterd per jaar) = {diff_fit.tvalues.iloc[1]:.2f}, {ev['jaar'].nunique()} verschillende jaren")
summary_1.round(3)

verschil crashkans hoog - laag vol: 0.112, t (geclusterd per jaar) = 2.54, 69 verschillende jaren

mom = hap_data.french("F-F_Momentum_Factor")["Mom"].dropna()
rec_m = usrec.reindex(mom.index).rename("recessie")
fit_mom = hap.stats.newey_west(mom, rec_m, lags=12)

episode_id = ((rec_m == 1) & (rec_m.shift(1) != 1)).cumsum().where(rec_m == 1)
episode_means = mom.groupby(episode_id).mean()
episode_len = mom.groupby(episode_id).size()
tau = np.sqrt(max(episode_means.var() - mom[rec_m == 1].var() / episode_len.mean(), 0))

share = rec_m.mean()
sigma = mom.std()
mean_len = episode_len.mean()
episodes_per_year = 12 * share / mean_len
# long-run variance of the recession-minus-expansion gap per year: iid noise plus episode deviations
lrv = sigma**2 / 12 * (1 / share + 1 / (1 - share)) + tau**2 * (episode_len.pow(2).mean() / mean_len**2) / episodes_per_year
delta = fit_mom.params["recessie"]
pd.Series({
    "recessie min expansie (%/jr)": 1200 * delta, "t (NW)": fit_mom.tvalues["recessie"],
    "recessie-episodes": int(episode_means.size), "tau (% p.m.)": 100 * tau,
    "jaren nodig, zonder clustering": z2 * sigma**2 / 12 * (1 / share + 1 / (1 - share)) / delta**2,
    "jaren nodig, met clustering": z2 * lrv / delta**2,
}).round(2)

n_q = 1000
m_q = rng.normal(0.015, 0.08, n_q)
eps = rng.normal(0, 0.05, n_q)

true_a = 0.6 * m_q + eps
smoothed = np.empty(n_q)
smoothed[0] = true_a[0]
for i in range(1, n_q):
    smoothed[i] = 0.4 * true_a[i] + 0.6 * smoothed[i - 1]

eta = rng.normal(0, 0.15, n_q)
u = np.empty(n_q)
u[0] = eta[0]
for i in range(1, n_q):
    u[i] = 0.6 * u[i - 1] + eta[i]
persistent = 0.6 * m_q + u

frame_3 = pd.DataFrame({"A: gesmoothd": smoothed, "B: persistent": persistent, "m": m_q})
acf = pd.DataFrame({c: [frame_3[c].autocorr(j) for j in range(1, 5)] for c in ["A: gesmoothd", "B: persistent"]},
                   index=[f"lag {j}" for j in range(1, 5)])
lags_m = pd.concat([frame_3["m"].shift(j).rename(f"m lag {j}") for j in range(4)], axis=1)
betas = pd.DataFrame({c: sm.OLS(frame_3[c], sm.add_constant(lags_m), missing="drop").fit().params.iloc[1:]
                      for c in ["A: gesmoothd", "B: persistent"]})
pd.concat({"autocorrelatie": acf, "bèta op markt": betas}).round(3)